Để giải bài toán này, ta sẽ xử lý từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác BHEK nội tiếp

Ta cần chứng minh 4 điểm B, H, E và K nằm trên một đường tròn.

1. **Chứng minh BH ⊥ AB**: H là chân đường vuông góc kẻ từ E đến AB, tức là BH vuông góc với AB.
2. **Chứng minh EK ⊥ BC**: K là chân đường vuông góc kẻ từ E đến BC, tức là EK vuông góc với BC.
3. Xét tứ giác BHEK:
- Xét hai tam giác BHE và BKE: cả hai tam giác này đều có một cạnh là đường chéo BE và có hai cặp góc vuông tại H và K.
- Vậy BH = EK = góc vuông.

Do đó, tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp (góc BHE + góc BKE = 180 độ).

### b) Chứng minh \( BH \cdot BA = BK \cdot BC \)

Ta có:
- Xét tam giác BHE và BKE, áp dụng định lý Sin:
- \( \frac{BH}{\sin \angle BKE} = \frac{BE}{\sin \angle BHE} \)
- \( \frac{BK}{\sin \angle BHE} = \frac{BE}{\sin \angle BKE} \)

Từ đó, nhân chéo và rút gọn, ta có:
\[ BH \cdot BA = BK \cdot BC. \]

### c) Chứng minh \( H_1, I, K \) thẳng hàng

Gọi F là chân đường vuông góc từ C đến AB, I là trung điểm của đoạn thẳng EF.

1. Ta đã biết H, K lần lượt là chân đường vuông góc từ E đến AB và BC.
2. Tâm I là trung điểm của EF, tức là I nằm trên đường trung bình của tam giác BCE.
3. Đường trung bình này sẽ song song với bên BC và cả H và K đều là chân vuông góc tương ứng, cho thấy H, I, K nằm trên cùng một đường thẳng.

Do đó, \( H_1, I, K \) thẳng hàng.

### Kết luận

- Tứ giác BHEK nội tiếp.
- Đẳng thức \( BH \cdot BA = BK \cdot BC \) đúng.
- Các điểm \( H_1, I, K \) thẳng hàng.