Để tính độ dài các cạnh của tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\), chúng ta sử dụng định lý Pythagore và các mối quan hệ giữa các cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

### 1. Đối với trường hợp 1:
- \(AB = 3 \, cm\), \(AC = 4 \, cm\)
- Áp dụng định lý Pythagore:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, cm
\]
- Tính độ dài đường cao \(AH\):
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \, cm
\]
- Tính \(HB\) và \(HC\):
\[
HB = \frac{AC^2}{BC} = \frac{4^2}{5} = \frac{16}{5} = 3.2 \, cm
\]
\[
HC = \frac{AB^2}{BC} = \frac{3^2}{5} = \frac{9}{5} = 1.8 \, cm
\]

### 2. Đối với trường hợp 2:
- \(AB = 12 \, cm\), \(AC = 20 \, cm\)
- Tính \(BC\):
\[
BC = \sqrt{12^2 + 20^2} = \sqrt{144 + 400} = \sqrt{544} = 4\sqrt{34} \approx 23.32 \, cm
\]
- Tính đường cao \(AH\):
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{12 \cdot 20}{4\sqrt{34}} = \frac{240}{4\sqrt{34}} = \frac{60}{\sqrt{34}} \approx 10.27 \, cm
\]

### 3. Đối với trường hợp 3:
- \(AC = 5 \, cm\), \(AH = 2 \, cm\)
- Sử dụng công thức \(AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}\) để tính \(AB\) và \(BC\):
\[ BC = \frac{AB \cdot AC}{AH} \]
... (các bước tương tự)

### 4. Đối với trường hợp 4:
- \(AB = 20 \, cm\), \(HC = 9 \, cm\)
- Thực hiện tương tự như trên để tính toán.

Để hoàn thành tất cả các trường hợp, bạn có thể áp dụng các công thức tương tự cho từng tình huống. Nếu bạn cần tính toán cho từng trường hợp cụ thể hơn, hãy cho tôi biết!