Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta cần làm các bước sau:

**a) Chứng minh tứ giác AOCE nội tiếp và EA = ED:**

1. **Tứ giác AOCE nội tiếp:**

Trong đường tròn (O) với đường kính AB, ta có \( \angle ACO = 90^\circ \) vì đường kính tạo góc vuông với bất kỳ dây cung nào đi qua O. Tương tự, \( \angle CAO = 90^\circ \) vì đường A tiếp tuyến với đường tròn tại A.

Do đó, \( \angle ACO + \angle CAO = 180^\circ \). Điều này chứng tỏ tứ giác AOCE là tứ giác nội tiếp.

2. **Chứng minh EA = ED:**

Vì EA và EC là các tiếp tuyến từ E đến (O), nên \( EA = EC \).

Trong tam giác \( \triangle EAC \), vì \( EA = EC \) nên tam giác cân tại E.

Gọi D là giao điểm của BC và AE. Theo định lý đường kính đường tròn, AD đi qua trung điểm của cung AC khác chứa B (do EC là tiếp tuyến). Do đó, AB là trục đối xứng của đoạn AC trong (O), dẫn đến \( \angle EAD = \angle EDA \), chứng minh rằng EA = ED.

**b) Chứng minh CI = HI và FB là tiếp tuyến của (O):**

1. **Chứng minh CI = HI:**

Kẻ CH vuông góc với AB tại H, do đó CH là đường cao hạ từ C của \( \triangle ABC \).

Theo định nghĩa, \( I \) là giao điểm của BE và CH. Ta cần chứng minh rằng CI = HI.

Trong tam giác vuông \( \triangle BHC \) và \( \angle BHC = \angle EIC \) (góc đối đỉnh), do đó CH là đường trung bình của tam giác cân \( \triangle BHC \), dẫn đến CI = HI.

2. **Chứng minh FB là tiếp tuyến của (O):**

Từ định nghĩa, điểm F thuộc tia AI và EC. Xét tam giác \( \triangle CBI \) với tiếp tuyến FB. Vì \( \angle FBI = \angle IBC \) (do FB tiếp xúc với (O) tại B), FB tiếp xúc với (O).

**c) Chứng minh TB vuông góc DB:**

1. **Kẻ trục trung trực của đoạn AB cắt DK tại T.**

Trục trung trực của một đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng đó.

2. **Chứng minh TB vuông góc DB:**

Theo tính chất trục trung trực của đoạn \( AB \), \( T \) cách đều \( A \) và \( B \).

Do đó, \( TB \) vuông góc với \( AB \).

Dễ thấy rằng \( DB \) và TB cắt nhau sao cho \( \angle TDB = 90^\circ \).

Kết luận, TB vuông góc với DB đã được chứng minh.