Để chứng minh những bài toán hình học này, chúng ta hãy đi từng phần một cách chi tiết.

**a) Chứng minh AC = BM và AC // BM:**

Vì D là trung điểm của BC và M nằm trên tia đối của tia DA sao cho DM = DA, ta có:

1. \( DA = DM \).

Vì D là trung điểm của BC, suy ra \( DB = DC \).

Trong các tam giác \( \triangle ADM \) và \( \triangle ADC \):

- \( AD = AD \) (chung cạnh).
- \( DM = DA \) theo giả thiết.
- \( DC = DB \) do D là trung điểm của BC.

Theo định lý đường trung bình của hình thang, nếu \( DA = DM \) và \( DB = DC \), thì hai đoạn thẳng AC và BM là hai đường chéo của hình thang cân ADMC:

- \( AC = BM \).
- \( AC \parallel BM \).

**b) Chứng minh tam giác ABM = tam giác MCA:**

Ta xét hai tam giác \( \triangle ABM \) và \( \triangle MCA \):

1. \( AB = AC \) (do AB < AC suy ra MB = AC và MB song song với AC thì tam giác ABM = MCA là đối xứng nhau qua trung điểm của AC).
2. \( \angle ABM = \angle MCA \) (sử dụng tính chất các góc tạo bởi hai đường thẳng song song).
3. \( BM = AC \) (từ câu a).

Vậy \( \triangle ABM = \triangle MCA \) do cạnh-góc-cạnh.

**c) Kẻ AH vuông góc với BC và MK vuông góc với BC, chứng minh BK = CH:**

Do D là trung điểm BC, suy ra B và C đối xứng nhau qua D. Từ đó, AH và MK là các đường cao của các tam giác vuông cân ABD và MCD:

+ Trong tam giác vuông ABD, AH là đường trung bình nên AH = CH.
+ Trong tam giác vuông MCD, MK cũng là đường trung bình của tam giác vuông cân MCD nên MK = BK.

Do đó, \( BK = CH \).

**d) Chứng minh HM // AK:**

Điều kiện để hai đường thẳng HM và AK // nhau là góc giữa mỗi chiều rộng của các đường nằm giữa cả hai đường bằng nhau.

Vì \( AH = CH \), \( BK = MK \), và cả hai đường AH và MK vuông góc với BC nên từ vị trí đối xứng của H và K bởi D, đường HM và AK sẽ song song với nhau. Vậy, \( HM \parallel AK \).

Các bước này sẽ chứng minh toàn bộ đề bài đã yêu cầu.