Để giải quyết bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần.

### a) Chứng minh tia AD là tia phân giác của góc BAC:

1. **Tam giác ABC cân tại A:**
- Suy ra: \(\angle ABC = \angle ACB = 80^\circ\) (vì tổng góc trong tam giác bằng \(180^\circ\)).

2. **Tam giác DBC đều:**
- Suy ra: \(\angle DBC = \angle BDC = \angle BCD = 60^\circ\).

3. **Xét góc ABD:**
- \(\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 80^\circ - 60^\circ = 20^\circ\).

4. **Xét góc CAD:**
- \(\angle CAD = \angle ACB - \angle DCB = 80^\circ - 60^\circ = 20^\circ\).

5. **Kết luận:**
- Ta có \(\angle ABD = \angle CAD = 20^\circ\).
- Do đó, tia AD là tia phân giác của góc BAC.

### b) Chứng minh AM = BC:

1. **Góc BAM:**
- Do AD là phân giác của góc BAC, ta có góc \(\angle BAM = \angle MAC = 10^\circ\).

2. **Xét tam giác ABM và tam giác ACM:**
- \(\angle BAM = \angle MAC\).
- \(\angle ABM = \angle ACM = 60^\circ - 20^\circ = 40^\circ\).

3. **Tam giác ABM và tam giác ACM đều có hai góc bằng nhau:**
- Do đó hai tam giác này đồng dạng với nhau.

4. **Suy ra:**
- AM = AC (vì tam giác ABC là cân tại A và AM nằm trên phân giác).

5. **Do DBC đều, BC = AC:**
- Suy ra: AM = BC.

Vậy, bài toán đã được chứng minh.