Chúng ta sẽ lần lượt giải quyết các phần của bài toán này:

a) Chứng minh tam giác AMB bằng tam giác AMC và AM là phân giác của góc BAC:

Vì tam giác ABC cân tại A nên \( AB = AC \).

Xét tam giác AMB và AMC:

- AM là cạnh chung.
- \( \angle AMB = \angle AMC \) (vì AH là đường cao nên \( \angle AHB = \angle AHC = 90^\circ \). Tam giác AMB và AMC có cùng góc \( \angle AHB \) và cùng góc \( \angle AHC \)).
- \( AB = AC \) (do tam giác ABC cân tại A).

Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS), tam giác AMB bằng tam giác AMC.

Vì tam giác AMB bằng tam giác AMC nên \( \angle BAM = \angle CAM \), suy ra AM là phân giác của góc BAC.

b) Chứng minh tam giác BMN là tam giác cân:

Vì HM vuông góc với AB và MN vuông góc với AC, nên HM và MN là hai đường cao xuất phát từ H và M trong các tam giác vuông ABH và ACN.

Xét các góc \( \angle BMH = \angle ANM \) và \( HM = MN \) (vì chúng là hai đường cao của hai tam giác vuông đồng dạng nhau).

Như vậy \( \triangle BMH = \triangle ANM \) (vì cạnh-góc-cạnh), suy ra BM = MN.

Do đó, tam giác BMN cân tại M.

c) Chứng minh ba điểm K, Q, P thẳng hàng:

Giả sử trên tia đối của tia AM, chọn điểm P sao cho AM = MP. Khi đó, M là trung điểm của đoạn thẳng AP.

Xét MP cắt BC tại E và N cắt BE tại Q. Ta cần chứng minh ba điểm K, Q, P thẳng hàng.

Trong tam giác BMC, E và Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng song song (BE và MN). Ta có:

- Vì \( AM = MP \) và AM là phân giác của góc BAC nên E sẽ là trung điểm của BC.
- Vì MN vuông góc với AC và đi qua N (trung điểm của AC) nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó, E, M, K thẳng hàng.

Sử dụng định lý Menelaus trong tam giác ABK với cát tuyến MQP, ta chỉ cần chứng minh rằng:

\[
\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CK}{KA} = 1
\]

Từ đó \(\frac{BP}{PC} = 1\) (do E là trung điểm), và \(\frac{AQ}{QB}\) và \(\frac{CK}{KA}\) cũng đều bằng 1 theo tính chất trung điểm và cân xứng của đường phân giác.

Vậy \( K, Q, P \) thẳng hàng như cần chứng minh.