Để giải bài toán này, trước tiên ta phải tìm chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn, sau đó tính diện tích trồng rau, và cuối cùng là tính số kg rau thu hoạch được.

1. **Tìm chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn:**

Gọi chiều rộng là \( x \) mét. Khi đó chiều dài là \( x + \frac{2}{3} \) mét.

Nửa chu vi của mảnh vườn là 60 mét, do đó ta có phương trình:

\[
x + \left(x + \frac{2}{3}\right) = 60
\]

Giải phương trình này:

\[
2x + \frac{2}{3} = 60
\]

\[
2x = 60 - \frac{2}{3}
\]

\[
2x = \frac{180}{3} - \frac{2}{3} = \frac{178}{3}
\]

\[
x = \frac{178}{6} = \frac{89}{3} \approx 29.67 \, \text{m}
\]

Chiều rộng là \(\frac{89}{3}\) mét và chiều dài là \(\frac{89}{3} + \frac{2}{3} = 30\) mét.

2. **Tính diện tích mảnh vườn:**

Diện tích của mảnh vườn là:

\[
x \times (x + \frac{2}{3}) = \frac{89}{3} \times 30 = 890 \, \text{m}^2
\]

3. **Tính diện tích trồng rau:**

Diện tích trồng rau chiếm \(\frac{1}{4}\) diện tích mảnh vườn, do đó:

\[
\text{Diện tích trồng rau} = \frac{1}{4} \times 890 = 222.5 \, \text{m}^2
\]

4. **Tính số kg rau thu hoạch được:**

Giả sử mỗi mét vuông mảnh vườn trồng rau thu hoạch được \( k \) kg rau. Số kg rau thu hoạch được trên mảnh vườn là:

\[
\text{Số kg rau} = k \times 222.5
\]

Tuy nhiên, đề bài không cung cấp thông tin về năng suất thu hoạch rau tính theo kg/m². Do vậy, bạn cần biết số kg rau thu hoạch được trên mỗi m² (giá trị của \( k \)) để có thể hoàn thành phép tính này.