Ta có:\( 3x = 1 - \sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}} - \sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}\)

<=> \( 1 - 3x = \sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}\)

<=> \( (1 - 3x)^3 = \left( \sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}} \right)^3\)

Sử dụng hằng đẳng thức \((a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)\), ta có:

\(\Leftrightarrow 1 - 9x + 27x^2 - 27x^3 = \frac{25+\sqrt{621}}{2} + \frac{25-\sqrt{621}}{2} + 3 \cdot \sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2} \cdot \frac{25-\sqrt{621}}{2}} \cdot (1 - 3x)\)

\(\Leftrightarrow 1 - 9x + 27x^2 - 27x^3 = \frac{50}{2} + 3 \cdot \sqrt[3]{\frac{25^2 - (\sqrt{621})^2}{4}} \cdot (1 - 3x)\)

\(\Leftrightarrow 1 - 9x + 27x^2 - 27x^3 = 25 + 3 \cdot \sqrt[3]{\frac{625 - 621}{4}} \cdot (1 - 3x)\)

\(\Leftrightarrow 1 - 9x + 27x^2 - 27x^3 = 25 + 3 \cdot \sqrt[3]{\frac{4}{4}} \cdot (1 - 3x)\)

\(\Leftrightarrow 1 - 9x + 27x^2 - 27x^3 = 25 + 3 \cdot 1 \cdot (1 - 3x)\)

\(\Leftrightarrow 1 - 9x + 27x^2 - 27x^3 = 25 + 3 - 9x\)
\(\Leftrightarrow 1 - 9x + 27x^2 - 27x^3 = 28 - 9x\)
\(\Leftrightarrow 27x^3 - 27x^2 + 27 = 0\)

\(\Leftrightarrow 27(x^3 - x^2 + 1) = 0\)

\(\Leftrightarrow x^3 - x^2 + 1 = 0\)

Vì phương trình \(x^3 - x^2 + 1 = 0\) và phương trình \(x^5 + x + 1 = 0 \) đều có nghiệm chung (như phần phân tích nhân tử mình chỉ bạn ở trên: \(x^5+x+1 = (x^2+x+1)(x^3-x^2+1)\), nên giá trị x đề bài cho chính là nghiệm của phương trình đã cho.