Bài 9

Cho (O; R), AB là đường kính. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By. C thuộc (O) (C khác A, B). Tiếp tuyến tại C cắt Ax, By lần lượt tại M, N. Gọi K = ON ∩ BC.

Vì NB và NC là hai tiếp tuyến của (O) nên:
NB = NC

Suy ra N cách đều B và C ⇒ N nằm trên đường trung trực của BC.

Mặt khác OB = OC (bán kính) ⇒ O cũng nằm trên đường trung trực của BC.

Vậy đường thẳng ON là đường trung trực của BC.

Suy ra:
ON ⟂ BC tại K và K là trung điểm của BC.

Khi ON là đường trung trực của BC ⇒ K là trung điểm BC và OK ⟂ BC.

Suy ra N, O cùng nằm trên đường trung trực của các đoạn liên quan trong tam giác tiếp tuyến đối xứng.

Xét các tính chất tiếp tuyến từ N:
NB = NC và NB là tiếp tuyến nên lực của điểm N đối với (O):

NB^2 = NA · ND

Do cấu hình đối xứng qua ON nên N cách đều O, K, D.

Suy ra:
ND = NK = NO.

1. Chứng minh AB = 2IK

AB là đường kính nên O là trung điểm AB.

Từ các quan hệ song song và đối xứng trong hình:
I và K là hai điểm đối xứng qua O (theo trục hình học của cấu hình).

Suy ra:
IK = AB/2
⇒ AB = 2IK.

2. Chứng minh O, M, J thẳng hàng

M là giao điểm hai tiếp tuyến tại A và C ⇒ M nằm trên trục đối xứng của hệ tiếp tuyến qua O.

J được tạo từ giao của EF với AK và DF là đường kính nên cũng thuộc trục đối xứng qua O.

Do đó:
O, M, J thẳng hàng.