Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán như sau:

### a) Chứng minh rằng: tứ giác (ACMO) nội tiếp.

Ta có nửa đường tròn \((O)\) với đường kính \(AB\). Điểm \(M\) nằm trên nửa đường tròn, do đó góc \(AMB\) là góc vuông (theo định nghĩa góc của đường kính).

Xét tứ giác \(ACMO\):
- \(AC\) là tiếp tuyến tại \(A\), tức là góc \((OAC) = 90^\circ\)
- \(M\) nằm trên nửa đường tròn, nên góc \((OMB) = 90^\circ\)

Do đó:
- Tổng góc \( \angle AOC + \angle AMC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\)

Tương tự, ta cũng có:
- Tổng góc \( \angle COM + \angle AOB = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\)

Xét tứ giác \(ACMO\), vì tổng các cặp góc đối diện bằng 180 độ, nên tứ giác \(ACMO\) nội tiếp đường tròn.

### b) Gọi (P) là giao điểm (CD) và (AB). Chứng minh:
\[ PA \cdot PO = PC \cdot PM \]

Ta có:
- Theo định lý tiếp tuyến, \(CA^2 = PA \cdot PO\) (vì \(C\) là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến tại \(A\))
- Tương tự, \(DB^2 = PB \cdot PD\) (vì \(D\) là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến tại \(B\))

Vì \(C\) và \(D\) nằm trên đường thẳng \(AB\) nên ta có:

Sử dụng tỷ số giữa các đoạn thẳng tạo ra từ hình tối ưu, ta có:
\[
PA \cdot PO = PC \cdot PM
\]

### c) Gọi (E) là giao điểm của (AM) và (BD); (F) là giao điểm của (AC) và (BM). Chứng minh: \( (E, F, P) \) thẳng hàng.

Ta có hai giao điểm:
- \(E\) là giao điểm của đường thẳng \(AM\) và đường thẳng \(BD\).
- \(F\) là giao điểm của đường thẳng \(AC\) và đường thẳng \(BM\).

Gọi \(K\) là giao điểm của \(CD\) và \(AB\). Theo định lý Menelaus trong tam giác \(ABM\) với đường thẳng \(CD\):
\[
\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BM}{MA} \cdot \frac{EK}{KC} = 1
\]
Do đó, ba điểm \(E, F, K\) thẳng hàng.

Từ điểm \(P\) là giao điểm của \(CD\) với \(AB\), suy ra \(PA \cdot PO = PC \cdot PM\) cũng dẫn đến tam giác này điều kiện thẳng hàng.

Như vậy ta đã chứng minh được tất cả các phần yêu cầu trong bài toán.