Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và góc còn lại:

1. Tính góc $\widehat{C}$: Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$:

   $$\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$

2. Tính cạnh $AC$:

   $$AC = AB \cdot \tan 60^\circ = 9 \cdot \sqrt{3} \approx 15,59 \text{ (cm)}$$

3. Tính cạnh $BC$:

   $$BC = \frac{AB}{\cos 60^\circ} = \frac{9}{0,5} = 18 \text{ (cm)}$$

1. Chứng minh $AE \cdot AB = AH^2$:

   • Xét $\triangle AHB$ vuông tại $H$, có đường cao $HE$ (do $E$ là hình chiếu của $H$ lên $AB$).

   • Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: $AE \cdot AB = AH^2$ (đpcm).

2. Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle AFE$:

   • Tương tự, xét $\triangle AHC$ vuông tại $H$, đường cao $HF \Rightarrow AF \cdot AC = AH^2$.

   • Từ đó suy ra: $AE \cdot AB = AF \cdot AC$ (cùng bằng $AH^2$).

   • Lập tỉ số: $\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB}$.

   • Xét $\triangle ABC$ và $\triangle AFE$ có:

     • Góc $\widehat{A}$ chung.

     • $\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB}$ (chứng minh trên).

   • Vậy $\triangle ABC \sim \triangle AFE$ (cạnh - góc - cạnh).

1. Chứng minh $K$ là trung điểm $BC$:

• Vì $AEHF$ là hình chữ nhật (có 3 góc vuông), gọi $O$ là giao điểm của $AH$ và $EF$. Ta có $OA = OE = OF = OH$.

• $\triangle ABC \sim \triangle AFE \Rightarrow \widehat{AFE} = \widehat{ABC}$.

• Ta có $AI \perp EF$ tại $I$. Trong $\triangle AFI$ vuông tại $I$: $\widehat{FAI} + \widehat{AFE} = 90^\circ$.

• Mà trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $\widehat{C} + \widehat{B} = 90^\circ$.

• Vì $\widehat{AFE} = \widehat{B}$ nên suy ra $\widehat{FAI} = \widehat{C}$.

• Gọi $AK$ cắt $BC$ tại $K$. Vì $\widehat{KAC} = \widehat{C}$ nên $\triangle KAC$ cân tại $K \Rightarrow KA = KC$.

• Tương tự, $\widehat{KAB} = 90^\circ - \widehat{KAC} = 90^\circ - \widehat{C} = \widehat{B} \Rightarrow \triangle KAB$ cân tại $K \Rightarrow KA = KB$.

• Vậy $KB = KC = KA$, suy ra $K$ là trung điểm $BC$.

2. Chứng minh đẳng thức $\cos^3 B \cdot \sin B = \frac{IF}{BC}$:

• Trong $\triangle ABC$: $\cos B = \frac{AB}{BC}$, $\sin B = \frac{AC}{BC}$.

• Trong $\triangle AFE$: $IF = AF \cdot \sin(\widehat{FAI}) = AF \cdot \sin C = AF \cdot \cos B$.

• Sử dụng các hệ thức lượng $AF = \frac{AH^2}{AC}$ và $AH = AB \cdot \sin B$:

  $$IF = \frac{AH^2}{AC} \cdot \cos B = \frac{(AB \cdot \sin B)^2}{AC} \cdot \cos B = \frac{AB^2 \cdot \sin^2 B \cdot \cos B}{AC}$$

• Thay $AB = BC \cdot \cos B$ và $AC = BC \cdot \sin B$:

  $$IF = \frac{(BC \cdot \cos B)^2 \cdot \sin^2 B \cdot \cos B}{BC \cdot \sin B} = \frac{BC^2 \cdot \cos^3 B \cdot \sin^2 B}{BC \cdot \sin B} = BC \cdot \cos^3 B \cdot \sin B$$

• Chia cả hai vế cho $BC$, ta được: $\frac{IF}{BC} = \cos^3 B \cdot \sin B$ (đpcm).