a) ΔABM và ΔACM có:
AB = AC ( vì ΔABC cân tại A)
góc ABM = góc ACM ( vì ΔABC cân tại A)
BM= MC ( vì M là trung điểm BC)
=> ΔABM = ΔACM ( c-g-c)
=> góc BAM = góc CAM ( 2 góc tương ứng)
mà 2 góc này cùng nằm trong góc BAC
nên AM là phân giác góc BAC 
b) Có góc BAC + góc ABC + góc ACB = 180° ( định lí tổng 3 góc trong ΔABC)
mà góc BAC = 2 . góc BAM ( vì AM là phân giác góc BAC )
góc ABC = góc ACB ( vì ΔABC cân tại A)
nên 2 . góc BAM + góc ABC + góc ABC = 180° 
=>  2 . góc BAM + 2. góc ABC = 180° 
=> 2 . ( góc BAM + góc ABC) = 180° 
=>  góc BAM + góc ABC = 90° 
ΔABM có: 
Từ hai điều trên => góc AMB = 90° => AM ⊥  BC
c)  ΔABM và  ΔDCM có:
BM= MC ( vì M là trung điểm BC)
góc BMA = góc CMD ( đối dỉnh)
AM = DM (gt)
=> ΔABM =  ΔDCM (c-g-c)
=> góc ABM = góc DCM ( 2 góc tương ứng)
mà 2 góc này so le trong 
nên AB // CD 
d) Có góc BAM = góc MDC ( so le trong; AB // CD)
góc BAM = góc CAM ( cmt)
=> góc MDC = góc CAM 
ΔACD có:
Từ hai điều trên => ΔACD cân tại C