a)Ta có: ˆABM+ˆABC=180oABM^+ABC^=180o
ˆACN+ˆACB=180oACN^+ACB^=180o
Mà ΔABCΔABC cân đỉnh A nên ˆABM=ˆACNABM^=ACN^ (cùng cộng với hai góc bằng nhau bằng 180oo)
Xét ΔABMΔABM và ΔACNΔACN có:
AB=ACAB=AC (do ΔABCΔABC cân đỉnh A)
ˆABM=ˆACNABM^=ACN^ (cmt)
BM=CNBM=CN (giả thiết)
⇒ΔABM=ΔACN⇒ΔABM=ΔACN (c.g.c)
⇒Am=AN⇒Am=AN (hai cạnh tương ứng)
⇒ΔAMN⇒ΔAMN cân đỉnh A (đpcm)
 
b) ΔABM=ΔACN⇒ˆMAB=ˆNACΔABM=ΔACN⇒MAB^=NAC^ (hai góc tương ứng)

hay ˆHAB=ˆKACHAB^=KAC^

Xét ΔΔ vuông HABHAB và ΔΔ vuông KACKAC có:

AB=ACAB=AC (giả thiết)

ˆHAB=ˆKACHAB^=KAC^ (cmt)

⇒ΔHAB=ΔKAC⇒ΔHAB=ΔKAC (ch-gn)

⇒BH=CK⇒BH=CK (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

c) AH=AKAH=AK (hai cạnh tương ứng)

d) Xét ΔΔ vuông AOHAOH và ΔΔ vuông AOKAOK có:

AH=AKAH=AK (cmt)

AO chung

⇒ΔAOH⇒ΔAOH và ΔAOKΔAOK (ch-cgv)

⇒OH=OK⇒OH=OK mà BH=BKBH=BK (cmt)

⇒OH−BH=OK−CK⇒OH−BH=OK−CK

⇒OB=OC⇒ΔOBC⇒OB=OC⇒ΔOBC cân đỉnh O

e) ΔABCΔABC cân đỉnh A lại có ˆBAC=60oBAC^=60o nên ΔABCΔABC đều

Ta có: ˆABM+ˆABC=180oABM^+ABC^=180o

⇒ˆABM=180o−ˆABC=180o−60o=120o⇒ABM^=180o−ABC^=180o−60o=120o

ΔABMΔABM cân đỉnh BB (BM=BA=BC)

⇒ˆBMA=ˆBAM=180o−ˆABM2⇒BMA^=BAM^=180o−ABM^2

=180o−12002=30o=180o−12002=30o

ΔOBCΔOBC khi đó là tam giác đều vì ΔOBCΔOBC cân đỉnh O có thêm ˆOBC=ˆHBM=90o−ˆBMA=90o−30o=60oOBC^=HBM^=90o−BMA^=90o−30o=60o.