Ta có: ED//BC <=> DM//FN
Lại có: DM=DE và FN=FB
mà DE=FB ( BEDF là hình thoi)
nên DM=FN
=> Tứ giác MNFD có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau
=> Tứ giác MNFD là hình bình hành
Mặt khác: DM=ED
mà ED=DF ( BEDF là hình thoi)
nên DM=DF
=> Hình bình hành MNFD có hai cạnh kề bằng nhau
=> Tứ giác MNFD là hình thoi (đpcm)
 

b/ Xét tứ giác DMFB có:
DM//BF
DM=BF
=> Tứ giác DMFB là hình bình hành
=> DB//MF và DB=MF 
Mà P là trung điểm của DB ( P là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi BEDF)
Q là trung điểm của MF (Q là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi MNFD)
=> PD//FQ và PD=FQ
=> Tứ giác PDQF là hình bình hành
Lại có: DF là đường trung tuyến của tam giác BDC
mà DF=BF=FN <=> DF=1/2 BC
=> Tam giác BDC vuông tại D
=> Hình bình hành PDQF có 1 góc vuông
=> Tứ giác PDQF là hình chữ nhật

c/ Để tứ giác PDQF là hình vuông
thì PD vuông góc với PF
<=> DB vuông góc với EF 
<=> Tứ giác BEDF là hình vuông
<=> EB vuông góc với BF
<=> AB vuông góc với BC
<=> Tam giác ABC vuông tại A