a. Xét hai tam giác AHB; AHC có AB = AC;  ^ABH = ^ACH  và ^AHB = ^AHC = 90

=> ΔAHB = ΔAHC (cạnh huyền - góc nhọn) đpcm

b. Xét hai tam giác vuông AMH và ANH có AH : cạnh huyền chung; ^NAH = ^NAH (hai góc tương ứng của ΔAHB = ΔAHC) => ΔAMH = ΔANH (cạnh huyền - góc nhọn) => AM = AN ( hai cạnh tương ứng)   => ΔAMN cân tại A (đpcm)

c. ΔABC cân tại A nên ^B = (180 - ^A):2  và  ΔAMN cân tại A nên ^AMN = (180 - ^A):2

=> ^B = ^AMN (đồng vị) nên MN // BC

d. Áp dụng Pytago trong tg vuông AHN vuông tại N => HN^2 = AH^2 - AN^2

Trong tg vuông BMH vuông tại M => MH^2 = BH^2 - BM^2 mà HN = HM (hai cạnh tương ứng của  ΔAMH = ΔANH) => HN^2 = HM^2 => AH^2 - AN^2 = BH^2 - BM^2

=> AH^2 + BM^2 = AN^2 + BH^2  (đpcm)