a) Ta có: Tứ giác ACBD nội tiếp (O;R) có 2 đường chéo là 2 đường kính vuông góc với nhau.

Nên tứ giác ACBD là hình vuông.

Xét tứ giác ACMH: ^ACM=^ACB=900; ^AHM=900

=> Tứ giác ACMH nội tiếp đường tròn

Do tứ giác ACBD là 1 hình vuông nên ^BCD=1/2.CAD=450 

=> ^BCD=^MAN hay ^MCK=^MAK => Tứ giác ACMK nội tiếp đường tròn.

b) Gọi giao điểm của tia AE với tia tiếp tuyến BF là I. AF gặp MH tại J.

Ta có: Điểm E nằm trên (O) có đg kính AB => ^AEB=900

=> \(\Delta\)BEI vuông tại E. Dễ thấy \(\Delta\)BFE cân tại F => ^FEB=^FBE

Lại có: ^FEB+^FEI=900 => ^FBE+^FEI=900. Mà ^FBE+^FIE=900

Nên ^FEI=^FIE => \(\Delta\)EFI cân tại F => EF=IF. Mà EF=BF => BF=IF

Theo hệ quả của ĐL Thales ta có: \(\frac{MJ}{IF}=\frac{HJ}{BF}=\frac{AJ}{AF}\)=> MJ=HJ (Do IF=BF)

=> J là trung điểm của HM  => Đpcm.

c) Trên tia đối của tia DB lấy T sao cho DT=CM.

Gọi P là hình chiếu của A xuống đoạn MN.

Dễ dàng c/m \(\Delta\)ACM=\(\Delta\)ADT (c.g.c) => ^CAM=^DAT và AM=AT

mà ^CAM phụ ^MAD => ^DAT+^MAD=900 => ^MAT=900

=> ^MAN=^TAN=1/2.^MAT=450.=> \(\Delta\)MAN=\(\Delta\)TAN (c.g.c)

=> ^AMN=^ATN (2 góc tương ứng)  hay ^AMP=^ATD