a) 3 đường cao AD;BE;CF của \(\Delta\)ABC gặp nhau tại H.

Thấy ngay: Tứ giác BFHD nội tiếp đường tròn => ^FBH=^FDH (1)

Tương tự: ^ECH=^EDH (2)

Từ (1) và (2) kết hợp với ^FBH=^ECH (Cùng phụ ^BAC) => ^FDH=^EDH

=> DH là tia phân giác của ^FDE.

Ta có: MN // BC và AD vuông BC => MN vuông AD (Quan hệ //, vg góc)  

Xét \(\Delta\)MDN: DH vuông MN (cmt); DH là p/g ^MDN (hay ^FDE)

=> \(\Delta\)MDN cân đỉnh D => DM=DN => AD là đường trung trực của MN

=> AM=AN => \(\Delta\)AMN cân đỉnh A (đpcm).

b) Tia AM cắt BC tại K.

Xét \(\Delta\)NAI: ^AIN=1800 - (^IAN + ^INA) (3)

Ta thấy: ^IAN = ^MAI - ^MAN = ^BAC - ^MAN = ^BAM + ^CAN (Do ^MAI=^BAC)

             ^INA= ^NAD + ^NDA (Do ^INA là góc ngoài tam giác AND)

=> ^IAN + ^INA = ^BAM + (^CAN +^NAD) + ^NDA = ^BAM + ^NDA + ^DAC

= ^BAM + ^NDA + ^CBE

Lại có: Tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn => ^ADE=^ABE hay ^NDA=^ABE

=> ^IAN + ^INA = ^BAM + ^CBE + ^ABE = ^BAM + ^ABC= ^BAK + ^ABK

Mà ^AMN=^AKC (Đồng vị) = ^BAK + ^ABK (Góc ngoài đỉnh K tam giác AKB)

Suy ra: ^IAN + ^INA = ^AMN (4)

Thế (4) vào (3) => ^AIN = 1800 - ^AMN <=> ^AIN + ^AMN =1800

=> Tứ giác AMNI nội tiếp đường tròn (đpcm).

c)  Dễ c/m \(\Delta\)AMD=\(\Delta\)AND (c.c.c) => ^AMD=^AND <=> 1800-^AMD=1800-^AND

=> ^AMF=^ANI. Mà tứ giác AMNI nt => ^ANI=^AMI

Do đó: ^AMF=^AMI => MA là tia phân giác ^FMI (đpcm).