Bài 1: Tam giác ABC với đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng nếu AB < AC thì BE < CD.

Bài 2: Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Gọi K là hình chiếu vuông góc của M lên NP. Chứng minh KM là tia phân giác của góc BKC.

Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC. Đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh BC, AB và AC lần lượt tại D, E, F. Gọi P là điểm đối xứng với B qua D. AP cắt DF tại Q. Chứng minh rằng EQ song song với BC.

Bài 4: Cho tam giác ABC có AB < AC < BC. Trên các cạnh BC, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AN = AB = BM. Các đường thẳng AM và BN cắt nhau tại K. Gọi H là hình chiếu của K lên AB. Chứng minh rằng:
a) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nằm trên KH.
b) Các đường tròn nội tiếp tam giác ACH và BCH tiếp xúc nhau.

Bài 5: Tam giác ABC nhọn ngoại tiếp đường tròn tâm (I). Đường tròn này tiếp xúc với các cạnh BC, AC, AB lần lượt tại A1, B1, C1. Dựng các đường kính A1A2, B1B2, C1C2 của (I). Chứng minh rằng AA2, BB2, CC2 đồng quy.

Bài 6: Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh M, O, N thẳng hàng.