a) Trong tam giác ADC, ta có:

E là trung điểm của AD (gt)

I là trung điểm của AC (gt)

 

Quảng cáo

 

Nên EI là đường trung bình của ∆ ABC

⇒ EI // CD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Và EI=CD2EI=CD2

Trong tam giác ABC ta có:

I là trung điểm của AC

F là trung điểm của BC

Nên IF là đường trung bình của ∆ ABC

⇒ IF // AB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Và IF=AB2IF=AB2

b) Trong ∆ EIF ta có: EF ≤ EI + IF (dấu “=” xảy ra khi E, I, F thẳng hàng)

Mà EI=CD2;IF=AB2EI=CD2;IF=AB2 (chứng minh trên) ⇒EF≤CD2+AB2⇒EF≤CD2+AB2 

Vậy EF≤AB+CD2EF≤AB+CD2 (dấu bằng xảy ra khi AB // CD)

a)Xét $∆$ADC có
AE=ED
AI=IC
$\Rightarrow$EI là đường trung bình của$∆$ ADC
$\Rightarrow$EI//CD
Xét $∆$ABC có
AI=IC
BF=FC
$\Rightarrow$IF là đường trung bình của $∆$ ABC
$\Rightarrow$IF//AB
b)Vì EI là đường trung bình của$∆$ ADC
$\Rightarrow$EI=$\frac{CD}{2}$(1)
Vì IF là đường trung bình của $∆$ ABC
$\Rightarrow$IF=$\frac{AB}{2}$(2)
Áp dụng bất đẳng thức trong$∆$ EIF có
EI+IF$\ge$EF(3)
Từ (1),(2) và (3)$\Rightarrow$EF$\ge$$\frac{CD}{2}$+$\frac{AB}{2}$$\Rightarrow$EF$\ge$$\frac{AB+CD}{2}$