a/xét tam giác ABC ta có:
    AE=EB và BM=MC
nên EM là đường trung bình của tam giác ABC=>EM//AC
xét tứ giác AEMC có EM//AC nên là hình thang(đpcm)
b/xét tứ giác AMBN ta có:
      AB cắt MN tại E
mà AE=EB và ME=EN
nên tứ giác AMBN là hình bình hành.
c/gọi G là trung điểm NB, kẻ GM:
     xét NOMG, ta có:NG=OM(do NG=NB/2, OM=AM/2 mà NB=AM) 
                           và  NG//OM
                        =>là hbh=>NO//GM(1)
     xét ΔBNC ta có:NG=GB và BM=MC=>GM là đường trung bình của Δ BNC
                                                              =>GM//NC(2)
  từ (1) và (2) suy ra N,O,C thẳng hàng(tiên đề ơ-clít)
  ta lại có NO=OC(c/m tam giác hoặc hbh)
  nên O là trung điểm NC(đpcm)
d/muốn AMBN là hình chữ nhật thì hình bình hành AMBN phải có 1 góc vuông
    =>  $\widehat{AMB}={90}^o$(vì chỉ có AM liên quan đến  ΔABC)
     mà AM là đường trung tuyến mà vừa là đường cao
     nên ΔABC cân tại A hay AB=AC(điều kiện)