Gọi giao điểm của ED và AM là K.Trên tia đối của MA lấy điểm F sao cho AM=FM.

Xét \DeltaΔMAB và \DeltaΔMFC có:

MA=MF,^BMA=^FMC,BM=CM => \Delta MAB=\Delta FMC\left(c-g-c\right)\Rightarrow AB=FC=AD,\widehat{ABM}=\widehat{FCM}ΔMAB=ΔFMC(c−g−c)⇒AB=FC=AD,ABM=FCM

\Rightarrow AB//CF\Rightarrow\widehat{FCA}+\widehat{BAC}=180^0\left(1\right)⇒AB//CF⇒FCA+BAC=1800(1)
AD⊥AB⇒BAE+EAD=900
AE⊥AC⇒CAD+EAD=90,

⇒BAE+EAD+CAD+EAD=180⇒BAC+EAD=1800(2)Từ (1),(2) suy ra \widehat{FCA}=\widehat{EAD}FCA=EAD
Xét \DeltaΔADE và \DeltaΔCFA có:

AE=AC(gt),^FCA=^EAD(cmt),AD=CF(cmt)

\Rightarrow\Delta ADE=\Delta CFA\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{CAF}⇒ΔADE=ΔCFA(c−g−c)⇒AED=CAF

Mặt khác:\widehat{CAF}+\widehat{FAF}=90^0CAF+FAF=900

\Rightarrow\widehat{AED}+\widehat{FAE}=90^0⇒AED+FAE=900

\Rightarrow\widehat{EAK}+\widehat{KAE}=90^0⇒EAK+KAE=900

\Rightarrow\widehat{EKA}=90^0⇒EKA=900

\Rightarrow AM\perp DE^{đpcm}⇒AM⊥DEđpcm