a.
   Ta có DM vuông góc với AB nên $\widehat{\mathrm{AMD}}={90}^o$
   Ta có DN vuông góc với AC nên $\widehat{\mathrm{AND}}={90}^o$
Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{\mathrm{BAC}}={90}^o$ độ hay $\widehat{\mathrm{MAD}}$= 90 độ
Tứ giác AMDN có $\widehat{\mathrm{AMD}}=\widehat{AND}=\widehat{MAD}$= 90 độ nên là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông )
b.
AMDN là hình chữ nhật nên
    MN = AD
    AN= MD
Ta có AD là đường trung tuyến của tam giác ABC nên
        AD= DC (= 1/2BC)
Vậy MN= DC
Ta có MN// BC hay MN// DC
Tứ giác MNCD có MN//DC, MN=DC nên là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau )
=> MD= NC mà AN= MD nên AN= NC vậy N là trung điểm của AC (đpcm) 
c.
Ta có N là trung điểm của DE nên
          DN= NE
Ta có AN= NC
Tứ giác ADCE có DN= NE, AN= NC nên là hình bình hành
( vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường )