Bài 5. Cho hàm số \(y = 2x^2 + 2mx + m -1\) có đồ thị là (C_m), \(m\) là tham số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 1\)
b) Xác định m để hàm số:
- Đồng biến trên khoảng \((-1, +∞)\)
- Có cực trị trên khoảng \((-1, +∞)\)
c) Chứng minh rằng (C_m) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi \(m\).
Trả lời:
\(y = 2x^2 + 2mx + m -1\) (C_m). Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên.
a) \(m = 1 ⇒ y = 2x^2+ 2x\)
Tập xác định \(D =\mathbb R\)
* Sự biến thiên:
\(y' = 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = {{ - 1} \over 2} \)
- Hàm số đồng biến trên khoảng \(({-1\over2};+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty; {-1\over2})\)
- Cực trị:
    Hàm số đạt cực tiểu tại \(x={-1\over2}\); \(y_{CT}={-3\over 2}\)
- Giới hạn:
   \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \)
Bảng biến thiên:

*Đồ  thị
Đồ thị hàm số giao trục \(Ox\) tại hai điểm \((-1;0)\) và \((0;0)\)

b) Tổng quát \(y = 2x^2+ 2mx + m -1\) có tập xác định \(D = \mathbb R\)
 \(y' = 4x + 2m = 0 \Leftrightarrow x = {{ - m} \over 2}\)
Suy ra \(y’ >\) 0 với \(x > {{ - m} \over 2};y' < 0\) với \(x < {{ - m} \over 2}\) , tức là hàm số nghịch biến trên \(( - \infty, {{ - m} \over 2})\) và đồng biến trên \(({{ - m} \over 2}, + \infty )\)
i) Để hàm số đồng biến trên khoảng \((-1, +∞)\) thì phải có điều kiện \(( - 1,{\rm{ }} + \infty ) \in ({{ - m} \over 2}, + \infty )\)
  \( \Leftrightarrow {{ - m} \over 2} \le  - 1 \Leftrightarrow m \ge 2\)
ii) Hàm số đạt cực trị tại  \(x = {{ - m} \over 2}\) .
Để hàm số đạt cực trị trong khoảng \((-1, +∞)\), ta phải có:
\(\eqalign{
& {{ - m} \over 2} \in ( - 1, + \infty ) \cr
& \Leftrightarrow {{ - m} \over 2} > - 1 \Leftrightarrow 1 > {m \over 2} \Leftrightarrow m < 2 \cr} \)
c) (C_m) luôn cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt \(x = {{ - m} \over 2}\)
\(⇔\) phương trình \(2x^2+ 2mx + m – 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Ta có:
\(Δ’ = m^2– 2m + 2 = (m-1)^2+ 1 > 0 ∀m\)
Vậy (C_m) luôn cắt \(O x\) tại hai điểm phân biệt.