Bài 7. Trong không gian \(Oxyz\) cho hai đường thẳng d₁ và d₂ có phương trình
d₁:\(\left\{ \matrix{
x = 1 - t \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = - t \hfill \cr} \right.\)           và     d₂:\(\left\{ \matrix{
x = 2k \hfill \cr
y = - 1 + k \hfill \cr
z = k. \hfill \cr} \right.\)
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d₁ và d₂ chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa d₁ và song song với d₂.
Giải
a) (d₁) đi qua điểm \(M(1; 0; 0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = (-1; 1; -1)\)
(d₂) đi qua điểm \(M'(0; -1; 0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'}  = (2; 1; 1)\)
Vì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \) không cùng phương nên d₁ và d₂ có thể chéo nhau hoặc cắt nhau. Xét giao của d₁ và d₂:\(\left\{ \matrix{
1 - t = 2k \hfill \cr
t = - 1 + k \hfill \cr
- 1 = k \hfill \cr} \right.\), hệ vô nghiệm
do đó d₁ và d₂ không cắt nhau. Từ đó suy ra d₁ và d₂ chéo nhau.
b) Mặt phẳng \((α)\) chứa (d₁) và song song với d₂ thì \((α)\) qua điểm \(M_1(1; 0; 0)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow , \overrightarrow } \right]= (2; -1; -3)\)
Phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng:
\(2(x - 1) - (y - 0) - 3(z - 0) = 0\)
hay \(2x - y - 3z - 2 = 0\)