Gọi M là trung điểm của AB và trên tia đối của MA lấy MN sao cho MA = MN = $\frac{1}{2}$ AN

Xét ΔCMN và ΔBMA có :

MN = AM
$\stackrel{\wedge }{\mathrm{CMN}}$ = $\stackrel{\wedge }{\mathrm{AMB}}$ ( đối đỉnh )

CM = MB (do M là trung điểm của BC )

=> ΔCMN = ΔBMA ( c-g-c)

=> CN = AB ( cặp cạnh tương ứng )

và $\stackrel{\wedge }{\mathrm{CNM}}$ = $\stackrel{\wedge }{\mathrm{MAB}}$( cặp góc tương ứng )

Vì$\stackrel{\wedge }{\mathrm{CNM}}$ = $\stackrel{\wedge }{\mathrm{MAB}}$ mà hai góc ở vị trí so le trong nên CN//AB

mà AB⊥CA⊥CA => CN ⊥CA⊥CA

Do đó $\stackrel{\wedge }{\mathrm{ACN}}$ = $\stackrel{\wedge }{\mathrm{CAB}}$ = $90°$

Xét ΔACN và ΔCAB có:

CN = AB

$\stackrel{\wedge }{\mathrm{ACN}}$ = $\stackrel{\wedge }{\mathrm{CAB}}$

chung AC
=> ΔACN = ΔCAB (c-g-c)
=> AN = BC ( cặp cạnh tương ứng )
=> $\frac{1}{2}$AN = $\frac{1}{2}$BC
=> AM = $\frac{1}{2}$BC = MB
Áp dụng định lý tổng ba góc của một tam giác vào tam giác ABC vuông tại A có: 

$\stackrel{\wedge }{\mathrm{ACB}}$+ $\stackrel{\wedge }{\mathrm{ABC}}$ = $90°$ 

=> $\stackrel{\wedge }{\mathrm{ABC}}$ = $90°$ -  $\stackrel{\wedge }{\mathrm{ACB}}$ 
=> $\stackrel{\wedge }{\mathrm{ABC}}$ = $90°-30°$ 
=> $\stackrel{\wedge }{\mathrm{ABC}}$ = $60°$ 
Vì trong tam giác có AM = MB
và$\stackrel{\wedge }{\mathrm{ABC}}$ = $60°$
=> ΔAMB đều
=> AB = AM
Mà AM = $\frac{1}{2}$ BC
=> AB = $\frac{1}{2}$ BC (đpcm)