Cho tam giác ABC có: M,N lần lượt là trung điểm của AB; AC. Kẻ MP sao cho N là trung điểm của MP.

Ta có hình vẽ:

ABCMNP

Xét tam giác AMN và tam giác NCP có:

AN = NC (GT)

góc ANM = góc CNP (đối đỉnh)

MN = NP (GT)

=> tam giác AMN = tam giác NCP (c.g.c)

=> AM = CP (2 cạnh tương ứng)

Mà theo giả thiết ta có: AM = MB

=> MB = CP (1)

Ta có: tam giác AMN = tam giác NCP

=> góc MAN = góc NCP (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này đang ở vị trí so le trong

=> AM // CP

Vì AM trùng MB nên MB // CP

Ta có: MB // CP => góc BMC = góc MCP (so le trong) (2)

MC: cạnh chung (3)

Từ (1),(2),(3) => tam giác BMC = tam giác MCP

=> góc PMC = góc MCB (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này đang ở vị trí so le trong

=> MP // BC

hay MN // BC (*)

Ta có: tam giác BMC = tam giác MCP

=> MP = BC (2 cạnh tương ứng)

Mà MN = NP =1/2 MP (theo giả thiết)

hay MN = 1/2 BC (**)

Từ (*),(**) => Ta có đpcm