Cho đường tròn tâm (O,R) đường kính AB cố định. Gọi H là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng OA (điểm H khác điểm O và điếm A). Vẽ dây CD vuông góc với AB tại điểm H. Gọi M là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng CH . Nối AM cắt (O) tại điểm thứ hai là điểm E, tia BE cắt tia DC tại điểm F.

a) Chứng minh bốn điểm H, M, E, B cùng thuộc một đường tròn.

Theo đề bài, ta có CD ⊥ AB  

Lại có tam giác EAB nội tiếp đường tròn đường kính AB  

Suy ra  Tứ giác MHBE nội tiếp hay bốn điểm H, M, E, B cùng thuộc một đường tròn (đpcm)

b) Kẻ Ex là tia đối của tia ED. Chứng minh ∠FEx = ∠FEC và MC.FD=FC.MD.

Ta có OA ⊥ CD tại H, CD là dây cung nên A là điểm chính giữa cung CD (tính chất dây cung)   (do 2 góc nội tiếp (O) cùng chắn 2 cung AC và AD bằng nhau) hay EA là phân giác trong của góc CED.

Ta lại có EA ⊥ FB (do ) nên EF là tia phân giác ngoài của góc CED hay EF là tia phân giác của góc CEx hay ∠FEx = ∠FEC (đpcm)

Xét 2 tam giác FCE và FBD, Ta có:   (g.g)   (1)

Chứng minh tương tự ta có  (g.g)   (2)

Từ (1) và (2), ta có: 

  (*)

Xét 2 tam giác MHA và MEF, Ta có:   (g.g)   (3)

Tương tự ta có  (g.g)   (4)

Từ (3) và (4), ta có: 

  (**)

Từ (*) và (**) ta có:  (đpcm)
Đánh giá miik 5* nha!!