3)
Vì BM//AC
⇒∠MBC=∠BCA(so le trong)
Mà ∠BCA=∠BMC (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC)
⇒∠MBC=∠BMC⇒ΔBCM cân tại C.
Kéo dài OC cắt BM tại H ta có 
CO⊥AC(gt);AC//BM(gt)⇒OC⊥BM⇒OC⊥CH
⇒H là trung điểm của BM (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
Ta có OB=OC=R;AB=AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒OA là trung trực của BC ⇒OA⊥BC
Xét tam giác vuông OAC có 
$$\begin{gathered} \mathrm{AC}=\sqrt{{\mathrm{OA}}^2-{\mathrm{OC}}^2}=\sqrt{{\left(3\mathrm{R}\right)}^2-{\mathrm{R}}^2}=2\sqrt{2\mathrm{R}}=\mathrm{AB} (\mathrm{định} \mathrm{lý} \mathrm{Pytago}) \\ \Rightarrow \mathrm{CF}=\frac{\mathrm{AC}.\mathrm{AO}}{\mathrm{OA}}=\frac{2\sqrt{2\mathrm{R}}.\mathrm{R}}{3\mathrm{R}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\mathrm{R}=\mathrm{BF} \\ {\mathrm{AC}}^2=\mathrm{AF}.\mathrm{AO}\Rightarrow \mathrm{AF}=\frac{{\mathrm{AC}}^2}{\mathrm{AO}}=\frac{8{\mathrm{R}}^2}{3\mathrm{R}}=\frac{8\mathrm{R}}{3} \end{gathered}$$
(hệ thức lượng trong tam giác vuông)
$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{BC}=2\mathrm{CF}=\frac{4\sqrt{2}.\mathrm{R}}{3} \\ \Rightarrow \cos \angle \mathrm{OCF}=\frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{OF}}=\frac{2\sqrt{2}}{3} \end{gathered}$$
Xét tam giác vuông BCH có:
$$\begin{gathered} \mathrm{CH}=\mathrm{BC}.\cos \angle \mathrm{OCF}=\frac{4\sqrt{2}\mathrm{R}}{3}.\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{16\mathrm{R}}{9} \\ \Rightarrow \mathrm{BH}=\sqrt{{\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{CH}}^2}=\frac{4\sqrt{2}\mathrm{R}}{9}\Rightarrow \mathrm{BM}=2\mathrm{BH}=\frac{8\sqrt{2}\mathrm{R}}{9} \end{gathered}$$
Gọi D= AM ∩ BC, áp dụng định lí Ta-let ta có:
$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{AC}}=\frac{BD}{DC}=\frac{DM}{AD}=\frac{\frac{8\sqrt{2}R}{9}}{2\sqrt{2}R}=\frac{4}{9} \\ \Rightarrow \frac{BD}{BD+DC}=\frac{4}{4+9}\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{4}{13} \\ \Rightarrow BD=\frac{4}{13}.\frac{4\sqrt{2}R}{3}=\frac{16\sqrt{2}R}{39} \\ \Rightarrow DF=BF-BD=\frac{10\sqrt{2}R}{39} \end{gathered}$$
Xét tam giác vuông ADF có : ​
$$\begin{gathered} {\mathrm{AD}}^2={\mathrm{AF}}^2+{\mathrm{DF}}^2=\frac{64{\mathrm{R}}^2}{9}+\frac{200{\mathrm{R}}^2}{1521}=\frac{6\sqrt{34}\mathrm{R}}{13} \\ \frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{AD}}=\frac{4}{9}\Rightarrow \frac{\mathrm{DM}+\mathrm{AD}}{\mathrm{AD}}=\frac{13}{9} \\ \Rightarrow \mathrm{AM}=\frac{13}{9}\mathrm{AD}=\frac{2\sqrt{34}\mathrm{R}}{3} \end{gathered}$$
Xét tam giác ANB và tam giác ABM có: 
∠BAM∠BAM chung;

∠ABN=∠AMB (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BN);

⇒ΔABN∼ΔAMB(g.g)
$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AM}}\Rightarrow \mathrm{AN}=\frac{{\mathrm{AB}}^2}{\mathrm{AM}}=\frac{8{\mathrm{R}}^2}{\frac{2\sqrt{34}\mathrm{R}}{3}}=\frac{6\sqrt{34}}{17}\mathrm{R} \\ \Rightarrow \mathrm{MN}=\mathrm{AM}-\mathrm{AN}=\frac{2\sqrt{24}\mathrm{R}}{3}-\frac{6\sqrt{34}\mathrm{R}}{17}=\frac{16\sqrt{34}\mathrm{R}}{51} \end{gathered}$$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:​
$\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{AK}}=\frac{MN}{AN}\Rightarrow AK=\frac{BM.AN}{MN}=\frac{\frac{8\sqrt{2}R}{9}.\frac{6\sqrt{34}}{17}R}{\frac{16\sqrt{34}R}{51}}=R\sqrt{2}$
4) 
BẠN XEM HÌNH :)>>