Gọi O=AC∩BDO=AC∩BD. Vì chóp S.ABCD đều nên SO⊥(ABCD)SO⊥(ABCD).

Ta có: AO∩(SBC)=CAO∩(SBC)=C⇒d(A;(SBC))d(O;(SBC))=ACOC=2⇒d(A;(SBC))d(O;(SBC))=ACOC=2

⇒d(A;(SBC))=2d(O;(SBC))⇒d(A;(SBC))=2d(O;(SBC)).

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra OM là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒OM∥AB⇒OM∥AB và OM=12BC=12AB=a2OM=12BC=12AB=a2. Mà AB⊥BCAB⊥BC nên OM⊥BCOM⊥BC.

Ta có: {BC⊥OMBC⊥SO⇒BC⊥(SOM){BC⊥OMBC⊥SO⇒BC⊥(SOM).

{BC⊥(SOM)BC⊂(SBC){BC⊥(SOM)BC⊂(SBC)⇒(SOM)⊥(SBC)⇒(SOM)⊥(SBC)  và (SOM)∩(SBC)=SM(SOM)∩(SBC)=SM.

Trong (SOM) kẻ OH⊥SMOH⊥SM ta có:

⎧⎪⎨⎪⎩(SBC)⊥(SOM)(SBC)∩(SOM)=SMOH⊂(SOM),OH⊥SM{(SBC)⊥(SOM)(SBC)∩(SOM)=SMOH⊂(SOM),OH⊥SM⇒OH⊥(SBC)⇒OH⊥(SBC)

Do đó d(O;(SBC))=OHd(O;(SBC))=OH và d(A;(SBC))=2OHd(A;(SBC))=2OH.

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AC=BD=a√2AC=BD=a2 ⇒OB=12BD=a√22⇒OB=12BD=a22.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOB có: SO=√SB2−OB2SO=SB2−OB2=√3a24−2a24=a2=3a24−2a24=a2

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOM có:

1OH2=1SO2+1OM21OH2=1SO2+1OM2=4a2+4a2=8a2=4a2+4a2=8a2  ⇒OH=a√24⇒OH=a24.

Vậy d(A;(SBC))=2OH=a√22d(A;(SBC))=2OH=a22.