1. Tính số đo góc tam giác ACB

Vì M là điểm chính giữa cung AB nên MA=MBMA=MB (tính chất mqh giữa tiếp tuyến và dây cung) và ∠AMB=90o∠AMB=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ΔAMB⇒ΔAMB vuông cân tại M

⇒∠MAB=45o⇒∠MAB=45o (tính chất tam giác vuông cân)

Ta có BC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O tại B

⇒∠ABC=90o⇒ΔABC⇒∠ABC=90o⇒ΔABC vuông tại B

Mà ∠MAB=45o(cmt)⇒ΔABC∠MAB=45o(cmt)⇒ΔABC vuông cân tại B (dhnb)

⇒∠ACB=45o⇒∠ACB=45o (tính chất tam giác vuông cân).

2. Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp trong một đường tròn.

Ta có: M là điểm chính giữa cung AB (gt)

⇒⇒ Cung AM bằng 1414 đường tròn ⇒sdcungAM=14.360o=90o⇒sdcungAM=14.360o=90o

Mà ∠ANM∠ANM là góc nội tiếp chắn cung AM

⇒∠ANM=12sdcungAM=12.90o=45o⇒∠ANM=12sdcungAM=12.90o=45o

Lại có: ∠MCD=∠ACB=45o∠MCD=∠ACB=45o (cmt)

⇒∠MCD=∠ANM=45o⇒∠MCD=∠ANM=45o

⇒⇒ Tứ giác MNDC nội tiếp trong một đường tròn (dhnb) (đpcm).

3. Chứng minh AM.AC = AN.AD = 4R2.

Xét ΔAMNΔAMN và ΔADCΔADC có:

∠Achung∠ANM=∠ACD=45o(cmt)⇒ΔAMN∼ΔADC(g−g)⇒AMAD=ANAC⇒AM.AC=AN.AD(1)∠Achung∠ANM=∠ACD=45o(cmt)⇒ΔAMN∼ΔADC(g−g)⇒AMAD=ANAC⇒AM.AC=AN.AD(1)

Áp dụng hệ thức lượng cho ΔABCΔABC vuông tại B, đường cao BM ta có:

AM.AC=AB2⇔AM.AC=(2R)2=4R2AM.AC=AB2⇔AM.AC=(2R)2=4R2    (2)

Từ (1) và (2) ⇒AM.AC=AN.AD=4R2⇒AM.AC=AN.AD=4R2