a) Tứ giác BEFIBEFI có:

ˆBIF=90oBIF^=90o (giả thiết) suy ra II thuộc đường tròn đường kính (BF)

ˆBEF=90oBEF^=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên EE thuộc đường tròn đường kính (BF)

⇒BEFI⇒BEFI nội tiếp đường tròn đường kính (BF)

b) AB⊥CD,ΔOCDAB⊥CD,ΔOCD cân có OI là đường cao nên cũng là đường trung tuyến, nên I là trung điểm của CD

ΔACDΔACD có AIAI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ΔACDΔACD cân đỉnh A nên AC=ADAC=AD

⇒ˆACF=ˆAEC⇒ACF^=AEC^ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét ΔACFΔACF và ΔAECΔAEC có:

ˆAA^ chung

ˆACF=ˆAECACF^=AEC^ (chứng minh trên)

⇒ΔACF∼ΔAEC⇒ΔACF∼ΔAEC (g.g)

⇒ACAE=AFAC⇒ACAE=AFAC (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒AE.AF=AC2⇒AE.AF=AC2

c) ˆACF=ˆAEC⇒ACACF^=AEC^⇒AC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ΔCEFΔCEF (1)

Mặt khác ˆACB=90oACB^=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒AC⊥CB⇒AC⊥CB (2)

Từ (1) và (2) suy ra CBCB chứa đường kính đường tròn ngoại tiếp ΔCEFΔCEF

Mà CBCB cố định nên tâm đường tròn ngoại tiếp ΔCEFΔCEF thuộc CB cố định khi E thay đổi trên cung nhỏ BC.