a) Xét ΔFBC có:
2 đường cao BF, CA cắt nhau tại D ( BE ⊥ CF , CA ⊥ BF )

⇒ D là trực tâm của ΔFBC hay FD cũng là đường cao

⇒ FD ⊥ BC

b) Ta có góc AFD = góc DEF = 90 độ ( DE ⊥ EF , FA ⊥  AD )

Xét tứ giác ADEF có:
Góc FAD + Góc DEF = 90+90 = 180 độ 

⇒ Tứ giác ADEF nội tiếp

⇒ Góc ADF = Góc AEF (1)
Góc AFD = Góc AED (2)
Gọi giao điểm của FD và BC là H
Xét Δ FBH có:
góc BFH = 90 độ - góc FBH (   ΔFBH vuông tại H )
Xét  HDC có:
góc HDC = 90 độ - góc HCD (  Δ HDC vuông tại H )
Mà góc FBC = góc HCD (   Δ ABC vuông cân )
  ⇒ góc BFH = góc HDC hay góc BFH = góc ADF
  ⇒  góc AFD = góc ADF 
( góc HDC = góc ADF; đối đỉnh )( 3)
Từ 1,2,3 ⇒góc AFE = góc ADE hay EA là tia phân giác của góc FEB (ddpcm)

c) Ta có   Δ   ABC vuông cân tại A
  ⇒ góc B = góc C = 45 độ
Xét   Δ   ABC vuông tại A có:
sin C. BC = sin45 độ. a= sin 45 độ. a = √2/2 a 
AD= tanABD . AB = tan30 độ .AB = √3/3 · √2/2a = √6/6 a