tam giá ΔOACΔOAC vuông tại AA nên nó nội tiếp đường tròn đường kính COCO (1)

Lại có ΔOMCΔOMC vuông tại MM (do MCMC là tiếp tuyến tại MM) nên nó nội tiếp đường tròn đường kính COCO (2)

Từ (1) và (2) ⇒A,C,M,O⇒A,C,M,O cùng thuộc một đường tròn có đường kính COCO (đpcm).

b) Chứng minh AC+BD=CDAC+BD=CD và tứ giác MEOFMEOF là hình chữ nhật.

+) Xét đường tròn (O)(O) có CMCM và CACA là hai tiếp tuyến cắt nhau nên AC=CMAC=CM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Và DMDM và DBDB là hai tiếp tuyến cắt nhau nên DM=DBDM=DB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra AC+BD=CM+MD=CDAC+BD=CM+MD=CD (đpcm).

+) CM Tứ giác MEOFMEOF là hình chữ nhật

Ta có CM=CA(cmt);OM=OA=RCM=CA(cmt);OM=OA=R  nên OCOC là đường trung trực của đoạn AM⇒OC⊥AMAM⇒OC⊥AM tại E⇒ˆMEO=900.E⇒MEO^=900. (3)

Tương tự ta có ˆMFO=90∘MFO^=90∘   (4)

Xét ΔAMBΔAMB nội tiếp đường tròn (O)(O) có ABAB là đường kính nên ΔMABΔMAB vuông tại MM ⇒ˆEMF=90∘⇒EMF^=90∘  (5)

Từ (3), (4) và (5) ⇒⇒ tứ giác MEOFMEOF là hình chữ nhật (đpcm).

c) Chứng minh tích AC.BDAC.BD không đổi khi MM di động trên nửa đường tròn.

Do MEOFMEOF là hình chữ nhật ⇒ΔCOD⇒ΔCOD vuông tại OO.

Có CDCD là tiếp tuyến của (O)(O) ⇒MO⊥CD⇒MO⊥CD tại M.M.

Suy ra MOMO là đường cao của ΔCODΔCOD, do đó  CM.MD=OM2=R2CM.MD=OM2=R2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Từ ý a) ta có AC=CM;BD=MDAC=CM;BD=MD⇒AC.BD=CM.MD=R2⇒AC.BD=CM.MD=R2 (không đổi) (đpcm).

d) Tìm vị trí của MM trên nửa đường tròn sao cho diện tích tứ giác ABDCABDC nhỏ nhất.

Ta có : AC,BDAC,BD là tiếp tuyến của (O)(O) ⇒AC⊥AB;BD⊥AB⇒AC⊥AB;BD⊥AB ⇒AC//BD⇒AC//BD

Do đó: ABCDABCD là hình thang vuông có ABAB là đường cao.

Khi đó ta có : SABCD=12AB(AC+BD)SABCD=12AB(AC+BD) =12AB.CD=12AB.CD =12AB(AC+BD)Co−si≥12AB.2.√AC.BD=2R2=12AB(AC+BD)≥Co−si⁡12AB.2.AC.BD=2R2

(do theo câu b) ta có CD=AC+BDCD=AC+BD và theo câu c) ta cóAC.BD=R2AC.BD=R2)

Nên minSABCD=2R2⇔CD=ABminSABCD=2R2⇔CD=AB ⇔CD//AB⇔MO⊥AB⇔CD//AB⇔MO⊥AB (do MO⊥CDMO⊥CD)

⇔M⇔M là điểm chính giữa của cung AB.

a.Vì CM,CA là tiếp tuyến của (O)

→OC→OC là phân giác ˆAOM,CM=CAAOM^,CM=CA 

Tương tự ODOD là phân giác ˆBOM,DM=DBBOM^,DM=DB

→AC+BD=CM+DM=CD→AC+BD=CM+DM=CD

b.Từ câu a 

→ˆCOD=ˆCOM+ˆMOD=12ˆAOM+12ˆMOB=12ˆAOB=90o→COD^=COM^+MOD^=12AOM^+12MOB^=12AOB^=90o

c.Ta có:

OC⊥OD,OM⊥CD→CM.DM=OM2OC⊥OD,OM⊥CD→CM.DM=OM2

Mà AC=CM,DM=DB,OM=R→AC.BD=R2=AB24AC=CM,DM=DB,OM=R→AC.BD=R2=AB24

d.Vì CA,CMCA,CM là tiếp tuyến của (O)
→OC⊥AM→OC⊥AM

Mà AM⊥BMAM⊥BM vì AB là đường kính của (O)
→OC//BM→OC//BM

d.Lấy I là trung điểm CD vì ˆCOD=90o→(I,IO)COD^=90o→(I,IO) là đường tròn đường kính CD

Mà O là trung điểm AB,AC//DB(⊥AB)AC//DB(⊥AB)

→IO→IO là đường trung bình hình thang ◊ABDC◊ABDC

→IO//AC→IO⊥AB→IO//AC→IO⊥AB

→AB→AB là tiếp tuyến của (I,IO)

Hay AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

f.Ta có :AC//BD,CM=CA,DM=DAAC//BD,CM=CA,DM=DA

→NAND=ACBD=CMMD→NAND=ACBD=CMMD

→MN//AC→MN⊥AB(AC⊥AB)→MN//AC→MN⊥AB(AC⊥AB)

g.Để ABDCABDC có chu vi nhỏ nhất

→AB+BD+AC+CD→AB+BD+AC+CD nhỏ nhất

→AB+CD+CD→AB+CD+CD nhỏ nhất

→AB+2CD→AB+2CD nhỏ nhất

→CD→CD nhỏ nhất

Mà CD≥ABCD≥AB vì ABCDABCD là hình thang vuông tại A,B

Dấu = xảy ra khi CD//AB→MCD//AB→M nằm giữa A và B