a, xét tam giác BHD và tam giác CKD có : 

góc BHD = góc CKD = 90 do ...

góc HDB = góc CDK (đối đỉnh)

=> tam giác BHD ~ tam giác CKD (g - g)

b, xét tam giác ABH và tam giác ACK có : 

góc AHB = góc AKC = 90 do ...

góc BAH = góc CAH do AD là phân giác của góc BAC (gt)

=> tam giác ABH ~ tam giác ẠCK (g.g)

a, BH⊥AD(gt)⇒ˆBHA=ˆBHD=900BH⊥AD(gt)⇒BHA^=BHD^=900

CK⊥AD(gt)⇒ˆAKC=900CK⊥AD(gt)⇒AKC^=900

Xét ΔBHDΔBHDvà ΔCKDΔCKD có: 

                         ˆBHD=ˆCKD=900BHD^=CKD^=900

                          ˆBDH=ˆCDKBDH^=CDK^ (đối đỉnh)

Do đó: ΔBHD∞ΔCKD(g.g)ΔBHD∞ΔCKD(g.g)

b, Xét ΔABHΔABH và ΔACKΔACK có:

                     ˆBAH=ˆCAKBAH^=CAK^ (vì AD là tia p/g của góc BAC)

                       ˆAHB=ˆAKC=900AHB^=AKC^=900

Do đó: ΔABH∞ΔACK(g.g)ΔABH∞ΔACK(g.g)

Suy ra: ABAH=ACAKABAH=ACAK hay  AB.AK=AC.AHAB.AK=AC.AH

C, ΔABH∞ΔACK(cmt)⇒BHCK=ABAC(1)ΔABH∞ΔACK(cmt)⇒BHCK=ABAC(1) 

ΔBHD=ΔCKD(cmt)⇒DHDK=BHCK(2)ΔBHD=ΔCKD(cmt)⇒DHDK=BHCK(2)

Từ (1) và (2), ta được: DHDK=BHCK=ABACDHDK=BHCK=ABAC

d, Gọi giao điểm giữa FM và BH là O và giao điểm giữa FM và CK là I.

Bạn chứng minh được tam giác BOF tại O và tam giác CIE vuông tại I

ΔBOM=ΔCIM(ch.gn)⇒BO=CIΔBOM=ΔCIM(ch.gn)⇒BO=CI(2 cạnh tương ứng)

AD//FM(gt)⇒\hept{ˆBAD=ˆFˆDAC=ˆIECAD//FM(gt)⇒\hept{BAD^=F^DAC^=IEC^(đồng vị)

Suy ra: ˆF=ˆIECF^=IEC^

Mà \hept{ˆF+ˆFBO=900ˆIEC+ˆICE=900\hept{F^+FBO^=900IEC^+ICE^=900

Nên ˆFBO=ˆICEFBO^=ICE^

Chứng minh được ΔFBO=ΔECI(g.c.g)⇒BF=CEΔFBO=ΔECI(g.c.g)⇒BF=CE(2 cạnh tương ứng)

Chúc bạn học tốt.