a. Hàm số y=(m-2)x+m+3 là hàm số bậc nhất 
⇔
 m≠2
Để hàm số trên nghịch biến thì m-2<0 
⇒
 m<2
Vậy m<2 thì hàm số luôn nghịch biến

  

b. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3 nên tọa độ điểm đó là O (3;0) ∈ đồ thị hàm số y=(m-2)x+m+3

⇔
 0=(m-2).3+m+3
⇔
 0=3m-6+m+3
⇔
 6-3=3m+m
⇔
  2 =  4m
⇔
  m= 2
Vậy m=2

 
c. Xét phương trình hoành độ giao điểm của hàm số y =-x+2; y=2x-1 ta có:
-x+2=2x-1
⇔
 -3x=-3
⇔
 x=1; y= 2.1-1=1
Tọa độ giao điểm của 2 hàm số y =-x+2; y=2x-1 là A(1;1)
Để 3 đường thẳng y =-x+2; y=2x-1 và y=(m-2)x+m+3 đồng quy
thì A(1;1) ∈ đồ thị hàm số y=(m-2)x+m+3
⇔
 1=(m-2).1+m+3
⇔
 1=m-2+m+3
⇔
 2m=0
⇔
 m=0
Vậy m=0 thì đồ thị hàm số y =-x+2; y=2x-1 và y=(m-2)x+m+3 đồng quy

 
d. Đồ thị hàm số y=(m-2)x+m+3

Đồ thị giao với trục hoành (Ox): y=0
⇒
 0=(m-2)x+m+3

⇒
  x=
m
+
3
2
−
m

Đồ thị giao với trục tung (Oy): x=0
⇒
 y=(m-2).0+m+3

⇒
 y=m+3

Theo đề ta có: 
1
2
|
m
+
3
2
−
m
|
|
m
+
3
|
=
2

⇒
(
m
+
3
)
2
|
2
−
m
|
=
4

⇒
 +) m
2
+6m+9=4(2-m) (với m<2)

⇒
 m
2
+10m+1=0

⇒
 m=
−
5
±
2
√
6
 (tm)

+) m
2
+6m+9=4(m-2) (với m>2)

⇒
 m
2
+2m+17=0 vô nghiệm

Vậy m=
−
5
±
2
√
6
.