a. Hàm số y=(m-2)x+m+3 là hàm số bậc nhất ⇔⇔ m≠2
Để hàm số trên nghịch biến thì m-2<0 ⇒⇒ m<2
Vậy m<2 thì hàm số luôn nghịch biến

b. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3 nên tọa độ điểm đó là O (3;0) ∈ đồ thị hàm số y=(m-2)x+m+3

⇔⇔ 0=(m-2).3+m+3
⇔⇔ 0=3m-6+m+3
⇔⇔ 6-3=3m+m
⇔⇔  2 =  4m
⇔⇔  m= 2
Vậy m=2

 
c. Xét phương trình hoành độ giao điểm của hàm số y =-x+2; y=2x-1 ta có:
-x+2=2x-1
⇔⇔ -3x=-3
⇔⇔ x=1; y= 2.1-1=1
Tọa độ giao điểm của 2 hàm số y =-x+2; y=2x-1 là A(1;1)
Để 3 đường thẳng y =-x+2; y=2x-1 và y=(m-2)x+m+3 đồng quy
thì A(1;1) ∈ đồ thị hàm số y=(m-2)x+m+3
⇔⇔ 1=(m-2).1+m+3
⇔⇔ 1=m-2+m+3
⇔⇔ 2m=0
⇔⇔ m=0
Vậy m=0 thì đồ thị hàm số y =-x+2; y=2x-1 và y=(m-2)x+m+3 đồng quy

 
d. Đồ thị hàm số y=(m-2)x+m+3

Đồ thị giao với trục hoành (Ox): y=0⇒⇒ 0=(m-2)x+m+3

⇒⇒  x=m+32−mm+32−m

Đồ thị giao với trục tung (Oy): x=0⇒⇒ y=(m-2).0+m+3

⇒⇒ y=m+3

Theo đề ta có: 12|m+32−m||m+3|=212|m+32−m||m+3|=2

⇒(m+3)2|2−m|=4⇒(m+3)2|2−m|=4

⇒⇒ +) m22+6m+9=4(2-m) (với m<2)

⇒⇒ m22+10m+1=0

⇒⇒ m=−5±2√6−5±26 (tm)

+) m22+6m+9=4(m-2) (với m>2)

⇒⇒ m22+2m+17=0 vô nghiệm

Vậy m=−5±2√6−5±26.