* Xét tam giác DECDEC có 

MM là trung điểm DEDE

NN là trung điểm DCDC

Suy ra, MNMN là đường trung bình của tam giác DECDEC, hay MN//ECMN//EC (*) và MN=12ECMN=12EC  (1)

* Xét tam giác BECBEC có 

QQ là trung điểm BEBE

PP là trung điểm BCBC

Suy ra, PQPQ là đường trung bình của tam giác BECBEC, hay PQ//ECPQ//EC và PQ=12ECPQ=12EC (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQMNPQ là hình bình hành.

* Xét tam giác DEBDEB có 

QQ là trung điểm BEBE

MM là trung điểm DEDE

Suy ra, QMQM là đường trung bình của tam giác BEDBED, hay MQ//DBMQ//DB  (3).

Mà AB⊥ACAB⊥AC (4)

Từ (*), (3) và (4) suy ra MN⊥MQMN⊥MQ (5)

Tứ giác MNPQMNPQ là hình bình hành mà có một góc vuông suy ra MNPQMNPQ là hình chữ nhật.

Gọi II là giao điểm của hai đường chéo MPMP và QN,QN, các điểm M,N,P,QM,N,P,Q đều cách đều II một khoảng cố định, suy ra M,N,P,QM,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn