1. Định nghĩa

    Trong mặt phẳng cho vectơ v→. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM'→ = v→ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v→

Phép tịnh tiến theo vectơ v→ thường được lí hiệu là Tv→, v→ được gọi là vectơ tịnh tiến.

Như vậy

Tv→(M) = M’ ⇔ MM'→ = v→

Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất.

2. Tính chất

Tính chất 1. Nếu Tv→(M) = M’, Tv→(N) = N’ thì M'N'→ = MN→ và từ đó suy ra M’N = MN.

Tính chất 2. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

3. Biểu thức toạ độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v→ = (a; b). Với mỗi điểm M(x; y) ta có M’(x’, y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo v→. Khi đó

Biểu thức trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tv→

1. Định nghĩa

Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d.

Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản gọi là trục đối xứng.

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đd

Nếu hình H’ là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H’ qua d, hay H và H’ đối xứng với nhau qua d.

Nhận xét

    Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Khi đó M’ = Đd(M) ⇔ M0M'→ = - M0M→.

    M’ = Đd(M) ⇔ M = Đd(M’)

2. Biểu thức toạ độ

    Nếu d ≡ Ox. Gọi M’(x’; y’) = ĐOx[M(x,y)] thì

    Nếu d ≡ Oy. Gọi M’(x’; y’) = ĐOy[M(x,y)] thì

3. Tính chất

Tính chất 1

    Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất 2

    Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

4. Trục đối xứng của một hình

Định nghĩa

    Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến hình H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng.

1. Định nghĩa

    Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.

    Điểm I được gọi là tâm đối xứng.

    Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là ĐI.

    Nếu hình H là ảnh của hình H qua ĐI thì ta còn nói H đối xứng với H’ qua tâm I, hay H và H’ đối xứng với nhau qua I.

    Từ đinh nghĩa suy ra M = ĐI(M) ⇔ IM'→ = - IM→

2. Biểu thức toạ độ

    Với O(0;0), ta có M(x’; y’) = ĐO[M(x;y)] thì

    Với I(a; b), ta có M(x’; y’) = ĐI(x’; y’) thì

3. Tính chất

Tính chất 1

    Nếu ĐI(M) = M’ và ĐI(N) = N thì M'N'→ = – MN→, từ đó suy ra M’N’ = MN.

Tính chất 2

    Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

4. Tâm đối xứng của một hình

Định nghĩa

    Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó.

    Khi đó ta nói H là hình có tâm đối xứng.

1. Định nghĩa

Cho điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng giác (OM; ON’) bằng α được gọi là phép quay tâm O góc α.

- Điểm O được gọi là tâm quay, α được gọi là góc quay của phép quay đó.

- Phép quay tâm O góc α thường được kí hiệu là Q(O, α)

2. Tính chất

Tính chất 1

    Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất 2

    Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

1. Định nghĩa

    Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Nhận xét

    Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình.

    Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình là một phép dời hình.

2. Tính chất

Phép dời hình:

    Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm;

    Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng bằng nó;

    Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó;

    Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Khái niệm hai hình bằng nhau

Định nghĩa

    Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

1. Định nghĩa

    Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM'→ = kOM→ được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.

    Phép vị tự tâm O tỉ số k thường được kí hiệu là V(O;k).

Nhận xét

    Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.

    Khi k = 1, phép vị tự là đồng nhất.

    Khi k = –1, phép vị tự là phép đối xứng tâm.

    M’ = V(O; k)(M) ⇔ M = V(O; 1/k)(M’)

2. Tính chất

Tính chất 1

    Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M’, N’ thì M'N'→ = kMN→ và M’N’ = |k|.MN.

Tính chất 2

Phép vị tự tỉ số k:

    Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;

    Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;

    Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;

    Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|R.

1. Định nghĩa

    Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’ = k.MN.

Nhận xét

    Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.

    Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|.

2. Tính chất

Phép đồng dạng tỉ số k:

    Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;

    Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng;

    Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;

    Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR.

3. Hình đồng dạng

Định nghĩa

    Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác: