Xét ΔOCD và ΔOBA có

ˆCOD=ˆBOACOD^=BOA^ (đối đỉnh)

OA=OD

OB=OC

⇒ΔOCD=ΔOBA (cgc)

⇒ ˆOBA=ˆOCDOBA^=OCD^ 

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

⇒ CD//AB

Lại có CD=AB ( 2 cạnh tương ứng)

⇒ABDC là hình bình hành

Mà ˆBAC=90∘BAC^=90∘

⇒ABDC là hình chữ nhật

b. Xét ΔAED có H là trung điểm của AE, O là trung điểm AD 

⇒ OH là đường trung bình của ΔAED

→OH//DEMà:OH⊥AE→DE⊥AE→ˆAED=90∘→OH//DEMà:OH⊥AE→DE⊥AE→AED^=90∘

⇒ΔADE vuông tại E

→OE=12AD→OE=OA=OD→OE=12AD→OE=OA=OD

Mà ABDC là hình chữ nhật có O là trung điểm của 2 đường chéo

⇒ OA=OB=OC=OD

→OE=OB=OC→OE=12BC→OE=OB=OC→OE=12BC

Xét ΔBEC có 

OE=12BCOE=12BC

⇒ ΔBEC vuông E ( định lý đảo về đường trung tuyến)

c. Xét DMEN có

ˆMDN=ˆEDN=ˆDME=90∘MDN^=EDN^=DME^=90∘

⇒ DMEN là hình chữ nhật

⇒DM//NE hay BD//NE

→ˆCBD=ˆDEN→CBD^=DEN^ (đồng vị) 

Mà →ˆMDE=ˆDEN→MDE^=DEN^ (so le trong)

ˆCBD=ˆCADCBD^=CAD^( Xét hình chữ nhật ABDC) 

→ˆKDM=ˆCAD→KDM^=CAD^ (so le trong)

⇒ ˆKDM=ˆMDEKDM^=MDE^

⇒ DM là đường phân giác trong ΔKDE

Mà DM đồng thời là đường cao

⇒ ΔKDE cân tại D

⇒ DK=DE

d. Gọi I = ED ∩ MN

Xét ΔEAD có H là trung điểm của EA, I là trung điểm của ED

⇒ IH là đường trung bình 

→IH//AD→IH//AD

mà ˆKDM=ˆEDM=ˆMNEKDM^=EDM^=MNE^

⇒ MN // AD (do 2 góc đồng vị bằng nhau) hay MI // AD

⇒ H, M, I thẳng hàng

⇒ H, M, N thẳng hàng