a) Ta có: MD⊥AB(giả thiết)

       và    AC⊥AB( ΔABC vuông tại A)

⇒MD//AC (1)

 Có: DA⊥AC( ΔABC vuông tại A)

  và  ME⊥AC (giả thiết)

⇒ DA//ME (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

ADME là hình bình hành (Có các cạnh đối // )

Hình bình hành ADME có ∠A=90°

⇒ADME là hình chữ nhật ( Hình bình hành có một góc vuông) (Điều phải chứng minh)

b) Ta có đường thẳng MD đi qua trung điểm M của BC (giả thiết) và // với AC ( Từ ADME là hình chữ nhật) 

⇒ MD đi qua trung điểm D của AB

⇒ D là trung điểm của AB (3)

Từ (3) và ID=MD (I đối xứng với M qua D)

⇒ Hai đường chéo AB và IM cắt nhau tại tại trung điểm D của mỗi đường

⇒AMBI là  hình bình hành (4)

Trong Δ vuông ABC có đường trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC

⇒ AM=1/2 BC

mà BM=CM (  AM là đường trung tuyến)

⇒AM=BM (5)

Từ (4) và (5) suy ra:

AMBI là hình thoi ( Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau)

c) Hình thoi AMBI là hình vuông 

⇔ ∠AMB =90°

⇔ AM⊥BC hay AM vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của Δ ABC

⇔ Δ ABC cân tại A

Vậy ΔABC là Δ vuông cân tại A thì tứ giác AMBI là hình vuông

d) Xét tứ giác APHQ có:

∠HPA = 90° (HP⊥AB) ; ∠PAQ=90°(Δ ABC cân tại A); ∠HQA=90° (HQ⊥AC)

⇒ APHQ là hình chữ nhật ( Tứ giác có 3 góc vuông) (6)

Xét ΔPHQ và ΔEAP có:

PH=AQ ( APHQ là hình chữ nhật)

∠PHQ = ∠QAE (APHQ là hình chữ nhật)

HQ=PA (APHQ là hình chữ nhật)

⇒ΔPHQ = ΔEAP (c.g.c)

⇒AP=PH (hai cạnh tương ứng) (7)

Từ (6) và (7) suy ra:

APHQ là hình vuông 

⇒PQ⊥AM (Điều phải chứng minh)