a) Trong đường tròn (O) ta có OI là tia phân giác của góc AID ( tính chất hai tiếp tuyếnc cắt nhau)

 Trong đường tròn (O’) ta có O’I là tia phân giác của góc AIE  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

=> IO ⊥ IO’ ( tính chất kề bù)

Suy ra: ˆOIO′=90°  hay ˆMIN=90°

Lại có: IA = ID ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác ADI có IO là phân giác của góc AID nên IO cũng là đường cao của tam giác AID.

Suy ra: IO ⊥ AD hay ˆAMI=90°

Mặt khác: IA = IE  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác AEI cân tại I.

Tam giác cân AIE có IO’ là phân giác của góc AIE nên IO  cũng là đường cao của tam giác AIE.

 Suy ra: IO’ ⊥ AE hay ˆANI=90° 

Tứ giác AMIN có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

b) Tam giác AIO vuông tại A có AM ⊥ IO.

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: 

IA^2 = IM.IO               (1)

Tam giác AIO’ vuông tại A có AN ⊥ IO’.

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

IA^2 = IN.IO’                (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IM.IO = IN.IO’