Để chứng minh rằng hai tam giác ????????????PBM và ????????????MCQ đồng dạng, ta cần chứng minh tỉ lệ giữa các cặp đường cao hoặc đường trung tuyến trong hai tam giác đó.

Ta có:

1. ∠????????????=60∘∠PMQ=60∘ (theo đề bài).
2. ????????=????????BM=CM (vì ????M là trung điểm ????????BC).

Vậy, hai tam giác ????????????PBM và ????????????MCQ là đồng dạng do chúng có:

• ∠????????????=∠????????????∠PMB=∠QMC (theo góc).
• ∠????????????=∠????????????∠PBM=∠MQC (vì hai góc đó cùng là góc vuông với ????????BM và ????????CM).
• ????????????????=????????????????MCPB​=MQPM​ (theo định lí tỉ lệ đường cao trong tam giác).

Để chứng minh rằng hai tam giác ????????????MBP và ????????????QMP đồng dạng, ta cần chứng minh tỉ lệ giữa các cặp đường cao hoặc đường trung tuyến trong hai tam giác đó.

Ta có:

1. ∠????????????=60∘∠PMQ=60∘ (theo đề bài).
2. ????????=????????BM=CM (vì ????M là trung điểm ????????BC).

Vậy, hai tam giác ????????????MBP và ????????????QMP là đồng dạng do chúng có:

• ∠????????????=∠????????????∠MPB=∠MQP (theo góc).
• ∠????????????=∠????????????∠MBP=∠MQP (vì hai góc đó cùng là góc vuông với ????????BP và ????????PQ).
• ????????????????=????????????????MQMB​=PQBP​ (theo định lí tỉ lệ đường cao trong tam giác).

Để chứng minh ????????????????=2????????SABC​=2BC, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác đều và các tam giác đồng dạng đã chứng minh ở phần trước.

Vì ????????????ABC là tam giác đều, nên ta có:

• ????????=????????=????????BC=AC=AB.
• ∠????????????=∠????????????=∠????????????=60∘∠ABC=∠BCA=∠CAB=60∘.

Từ đó, ta có thể tính diện tích của tam giác ????????????ABC như sau: ????????????????=34×????????2SABC​=43​​×AB2 ????????????????=34×????????2SABC​=43​​×BC2 ????????????????=34×(2????????)2SABC​=43​​×(2BC)2 ????????????????=34×4????????2SABC​=43​​×4BC2 ????????????????=3×????????2SABC​=3​×BC2 ????????????????=2????????SABC​=2BC

Vậy, ????????????????=2????????SABC​=2BC, nhưng phải nhớ rằng ta đã chứng minh được điều này dựa trên giả sử ????????????ABC là tam giác đều, phải tính toán theo cách khác nếu giả sử này không đúng.