Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}\) ;             b) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x\);
c) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}9x\) ;            d) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}-2{x^3} + {\rm{ }}5\) ;
Giải:
Câu a:
Xét hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y' = 3- 3x^2\) .
Ta có: \(y' = 0 ⇔ x = ± 1\) .
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1;1)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\), giá trị cực đại
\(y\)_CĐ=\(y(1)=4\), đạt cực tiểu tại \(x=-1\) và
\(y\)_CT=\(y(-1)=0\).
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\)
Bảng biến thiên:
         
Đồ thị cắt trục \(Ox\) tại các điểm \((2;0)\) và \((-1;0)\), cắt \(Oy\) tại điểm \((0;2)\).
Đồ thị:
Ta có: \(y''=6x\); \(y''=0 ⇔ x=0\). Với \(x=0\) ta có \(y=2\). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm \(I(0;2)\) làm tâm đối xứng.
Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ \(x=-2\) suy ra \(y=4\).

Câu b:
Xét hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y' = 3x^2+ 8x + 4\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right.\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - \frac{2}{3}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - 2; - \frac{2}{3}} \right).\)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), giá trị cực đại \(y\)_cđ = \(y(-2) = 0\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\frac{2}{3}\), giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y\left ( -\frac{2}{3} \right )=-\frac{32}{27}.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\).
Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;0)\), cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: \({x^3} + 4{x^2} + 4x = 0⇔ x=0\) hoặc \(x=-2\) nên tọa độ các giao điểm là \((0;0)\) và \((-2;0)\).
Đồ thị hàm số:
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: \(y''=6x+8;\)\(y''=0\Leftrightarrow x=-\frac{4}{3}\Rightarrow y=-\frac{16}{27}.\) 

Câu c:
Xét hàm số \(\small y = x^3 + x^2+ 9x\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y' = 3x^2+ 2x + 9 > 0, ∀x\).
Vậy hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\).
Bảng biến thiên :

Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục \(Ox\) tại điểm \((0;0)\), cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;0)\).
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(y''=0 ⇔ 6x+2=0 ⇔\) \(x=-\frac{1}{3}.\) Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: \(I\left ( -\frac{1}{3};-\frac{79}{27} \right ).\)
Lúc này ta vẫn chưa có đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm có hoành độ cách đều hoành độ \(x_1\) và \(x_2\) sao cho \(\left| {{x_1} - \left( { - \frac{1}{3}} \right)} \right| = \left| {{x_2} - \left( { - \frac{1}{3}} \right)} \right|\), khi đó hai điểm này sẽ đối xứng nhau qua điểm uốn. Ta chọn các điểm \((-1;-9)\) và \(\left ( \frac{1}{2};\frac{39}{8} \right ).\)

Câu d:
Xét hàm số \(y=-2x^3+5\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y' = -6x^2≤ 0, ∀x\).
Vậy hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb R\).
Hàm số không có cực trị.
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\)
Bảng biến thiên:

 
Đồ thị:
Tính đối xứng: \(y''=-12x; y''=0 ⇔ x=0\). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn \(I(0;5)\) làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;5)\), đồ thị cắt trục \(Ox\) tại điểm \(\left( {\sqrt[3]{{\frac{5}{2}}};0} \right).\)