Bài 11. Trong không gian \(Oxyz\) cho các điểm \(A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2), C(1 ; 2 ; 3), D(0 ; 3 ;-2)\).
a) Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) và phương trình tham số của đường thẳng \(AD\).
b) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa \(AD\) và song song với \(BC\).
Giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (-2; -2; 2)\), \(\overrightarrow {AC} = (2; 0; 3)\).
Gọi \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) thì:
\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC} } \right]\)
\(\Rightarrow \overrightarrow n  = ( - 6;10;4) =-2(3; -5; -2)\).
Chọn vectơ \((3; -5; -2)\) là vectơ pháp tuyến của mp \((ABC)\) và được phương trình:
\(3(x + 1) - 5(y - 2) - 2(z - 0) = 0\)
\( \Leftrightarrow 3x - 5y - 2z + 13 = 0\)
Đường thẳng \(AD\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AD} = (1; 1; -2)\) và đi qua \(A(-1; 2; 0)\) có phương trình chính tắc là:
\(\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {AD} = (1; 1; -2)\), \(\overrightarrow {BC} = (4; 2; 1)\)
Gọi \(\overrightarrow m \) là vectơ pháp tuyến của mp \((α)\) thì:
\(\overrightarrow m  = \left[ {\overrightarrow {AD}, \overrightarrow {BC} } \right]= (5; -9; -2)\)
\((α)\) chứa \(AD\) nên chứa điểm \(A(-1; 2; 0)\)
Phương trình của \((α)\) là:
\(5(x + 1) - 9(y - 2) - 2(z - 0) = 0\)
\( \Leftrightarrow 5x - 9y  - 2z + 23 = 0\).