Bài 10. Trong không gian \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d\):
\(\left\{ \matrix{
x = 1 - 2t \hfill \cr
y = 2 + t \hfill \cr
z = 3 - t \hfill \cr} \right.\)và mặt phẳng \((α) : 2x + y + z = 0\).
a) Tìm toạ độ giao điểm \(A\) của \(d\) và \((α)\).
b) Viết phương trình mặt phẳng \((β)\) qua \(A\) và vuông góc với \( d\).
Giải
Thay các biểu thức theo \(t\) của \(x, y, z\) trong phương trình tham số của \((d)\) vào phương trình của mặt phẳng \((α)\), ta có:
\(2(1 - 2t) + (2 + t) + (3 - t) = 0 \Rightarrow t = {7 \over 4}\)
Từ đây, ta có toạ độ giao điểm \(A\) của \((d)\) và \((α)\)
\(\left\{ \matrix{
x = 1 - 2.{7 \over 4} = - {{10} \over 4} \hfill \cr
y = 2 + {7 \over 4} = {{15} \over 4} \hfill \cr
z = 3 - {7 \over 4} = {5 \over 4} \hfill \cr} \right.\)\( \Rightarrow A\left( { - {{10} \over 4};{{15} \over 4};{5 \over 4}} \right)\)
b) Đường thẳng \((d)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = (-2; 1; -1)\). Mặt phẳng \((β)\) vuông góc với \((d)\), nhận \(\overrightarrow a \) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình của \((β)\) là:
\( - 2\left( {x + {{10} \over 4}} \right) + 1.\left( {y - {{15} \over 4}} \right) - 1.\left( {z - {5 \over 4}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 4x - 2y + 2z + 15 = 0\)