Bài 9. Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(2 ; 4 ; -1), B(1 ; 4 ; -1), C(2 ; 4; 3), D(2 ; 2 ; -1)\).
a) Chứng minh rằng các đường thẳng \(AB, AC, AD\) vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối tứ diện \(ABCD\).
b) Viết phương trình mặt cầu \((S)\) đi qua bốn điểm \(A, B, C, D\).
c) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) và song song với mặt phẳng \((ABD)\).
Giải

a) Ta xét các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \); \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \); \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (-1; 0; 0)\), \(\overrightarrow {AC} = (0; 0; 4)\), \(\overrightarrow {AD} = (0; 2; 0)\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = (-1).0 + 0.0 + 0.4 = 0\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \)
Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.
Ta có: \(V_{ABCD}\) =\({1 \over 3}.{1 \over 2}.AB.AC.AD\)
Ta tính được: \(AB = 1; AC = 4; AD = 2\)
\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 6}.1.4.2 = {4 \over 3}\)(đtdt)
b) Gọi \(I(a; b; c)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).
\(IA = IB = IC\)  \( \Rightarrow I\) nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD\). Tam giác \(ACD\) vuông tại đỉnh \(A\) nên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD\) là đường thẳng vuông góc với mp \((ACD)\) và đi qua trung điểm \(M\) của cạnh huyền \(CD\).
Như vậy \(MI // AB\)                       (1)
Ta lại có \(IA = IB\). Gọi \(P\) là trung điểm của \(AB\), ta có:
\(MI = AP\) = \({1 \over 2}AB\)                        (2)
Từ (1) và (2), suy ra \(\overrightarrow {MI}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \)
Với \(C (2; 4; 3), A (2; 4; -1)\) \( \Rightarrow M (2; 3; 1)\)
\(\overrightarrow {MI}= (a - 2; b - 3; c - 1)\); \(\overrightarrow {AB}  = (-1; 0; 0) \)
\(\left\{ \matrix{
a - 2 = {1 \over 2}( - 1) \Rightarrow a = {3 \over 2} \hfill \cr
b - 3 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow b = 3 \hfill \cr
c - 1 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow c = 1 \hfill \cr} \right.\)
Tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) là \(I\)\(\left( \right)^2} + {(4 - 3)^2} + {( - 1 - 1)^2} = {{21} \over 4}\)
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\):
\({\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 1)^2} = {{21} \over 4}\)
c) Ta cũng có \(AC ⊥ (ABD)\). Mặt phẳng \((α)\) song song với mặt phẳng \((ABD)\) nên nhận \(\overrightarrow {AC} \) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có \(\overrightarrow {AC}  = (0; 0; 4)\) nên phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng \(z + D = 0\).
Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu đến mặt phẳng \((α)\) là:
\(d(I,(α)) ={{\left| {1 + D} \right|} \over 1} = \left| {1 + D} \right|\)
Để mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu, ta cần có:
\(d(I,(α)) = r \Rightarrow \left| {1 + D} \right| = {{\sqrt {21} } \over 2}\)
Ta có hai mặt phẳng:
(1) \(1 + D ={{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D = {{\sqrt {21} } \over 2} - 1\)
\(\left( {{\alpha _1}} \right):z + {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0\)
(2)  \(1 + D = - {{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D =  - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1\)
 \(\left( {{\alpha _2}} \right):z - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0\)