LH Quảng cáo: lazijsc@gmail.com

Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Bài 11 trang 46 SGK Giải tích 12

1 trả lời
Hỏi chi tiết
397
0
0
Tô Hương Liên
12/12/2017 01:25:25
Bài 11.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
 \(y = \)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\), đường thẳng \(y = 2x + m\) luôn cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(M\) và \(N\)
c) Xác định m sao cho độ dài \(MN\) là nhỏ nhất
d) Tiếp tuyến tại một điểm \(S\) bất kì của \((C)\) luôn cắt hai tiệm cận của \((C)\) tại \(P\) và \(Q\). Chứng minh rằng \(S\) là trung điểm của \(PQ\).
Trả lời:
a) \(y = \)
Tập xác định : \(D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \)
* Sự biến thiên:
 \(y' = {{ - 2} \over {{{(x + 1)}^2}}} < 0,\forall x \in D\) 
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\)
- Cực trị: Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
    \(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = - \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 1 \cr} \)
Tiệm cận đứng: \(x = -1\)
Tiệm cận ngang: \(y = 1\)
Bảng biến thiên:

* Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao \(Ox\) tại \((-3;0)\), giao \(Oy\) tại \((0;3)\)
Đồ thị hàm số nhận điểm \(I(-1;1)\) làm tâm đối xứng.
 
b) Xét phương trình có nghiệm là hoành độ giao điểm của \((C)\) và đường thẳng (d): \(y = 2x + m\) (1) 
\(\eqalign{
& = 2x + m \Leftrightarrow x + 3 = (2x + m)(x + 1) \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} + (m + 1)x + m - 3 = 0,x \ne - 1 \cr} \)
\(Δ = (m+1)^2– 4.2(m-3) = m^2– 6m + 25 = (m-3)^2+ 16> 0\), nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt  khác \(-1\).
Vậy (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt \(M, N\) (hoành độ của \(M, N\) chính là nghiệm của (1)).
c) Theo định lí Vi-et ta có:
\(\left\{ \matrix{
{x_M} + {x_N} = - {\left( {{x_M}-{x_N}} \right)^2} + {\rm{ }}{({y_M} - {\rm{ }}{y_N})^2} \cr
& = {\left( {{x_M}-{x_N}} \right)^2} + {\left[ {(2{x_M} + m) - (2{x_N} + m)} \right]^2} \cr
& = 5{\left( {{x_M}-{x_N}} \right)^2} = 5\left[ {{{\left( {{x_M}+{x_N}} \right)}^2} - 4{x_M}{x_N}} \right] \cr
& = 5\left[ {{{( - \right] = {5 \over 4}({m^2} - 6m + 25) \cr
& = {5 \over 4}\left[ {{{(m - 3)}^2} + 16} \right] \ge {5 \over 4}.16 = 20 \cr} \)
\(MN = 2\sqrt5 ⇔ m = 3\)
Vậy độ dài \(MN\) nhỏ nhất bằng \(2\sqrt5\) khi \(m=3\)
d) Giả sử \(S(x_0;y_0)\) là điểm bất kì thuộc (C)
Phương trình tiếp tuyến \(Δ\) của (C) tại \(S\) là:
\(\eqalign{
& y - y = y'({x_0})(x - {x_0}) \cr
& \Leftrightarrow y = {{ - 2} \over {{{({x_0} + 1)}^2}}}(x - {x_0}) + {{{x_0} + 3} \over {{x_0} + 1}} \cr} \)
\(Δ\) cắt tiệm cận ngang tại \(P(2x_0+ 1, 1)\), \(Δ\) cắt tiệm cận đứng tại \(Q( - 1,{y_0} + {2 \over {{x_0} + 1}})\)
Rõ ràng: \({x_P} + {x_Q} = 2{x_0},{y_P} + {y_Q} = 2{y_0}\). Do đó, \(S\) là trung điểm của \(PQ\).

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập Toán học Lớp 12 mới nhất
Trắc nghiệm Toán học Lớp 12 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư