Bài 3. Xác định parabol \(y = ax^2+ bx + 2\), biết rằng parabol đó:
a) Đi qua hai điểm \(M(1; 5)\) và \(N(- 2; 8)\);
b) Đi qua hai điểm \(A(3;- 4)\) và có trục đối xứng là \(x=-\frac{3}{2}.\)
c) Có đỉnh là \(I(2;- 2)\);
d) Đi qua điểm \(B(- 1; 6)\) và tung độ của đỉnh là \(-\frac{1}{4}.\)
Giải
a) Vì parabol đi qua \(M(1; 5)\) nên tọa độ của \(M\) là nghiệm đúng phương trình của parabol:  
        \(5 = a.1^2+ b.1 + 2\).
Tương tự, với \(N(- 2; 8)\) ta có:
         \(8 = a.(- 2)^2 + b.(- 2) + 2\) 
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} a+b+2=5\\ 4a-2b+2=8 \end{matrix}\right.\) 
ta được \(a = 2, b = 1\).
Parabol có phương trình là: \(y = 2x^2 + x + 2\).
b) Vì parabol đi qua hai điểm \(A(3;- 4)\) nên tọa độ \(A\) là nghiệm đúng phương trình của parabol:
          \(a(3)^{2}+b.3+2=-4\)
Parabol có trục đối xứng là \(x=-\frac{3}{2}\) nên ta có:
           \(-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\)
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} -\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\\a(3)^{2}+b.3+2=-4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-\frac{1}{3}\\ b=-1 \end{matrix}\right.\)
Phương trình parabol cần tìm là: \(y = -\frac{1}{3} x^2- x + 2\).
c) Parabol có đỉnh \(I(2;- 2)\) do đó tọa độ \(I\) là nghiệm đúng phương trình của parabol:
      \(a.2^2+b.2+2=-2\)           
Parabol có đỉnh \(I(2;- 2)\) nên parabol có trục đối xứng là: \(x=2\) do đó:
       \( -\frac{b}{2a}=2\)          
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} -\frac{b}{2a}=2\\a.2^2+b.2+2=-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-4 \end{matrix}\right.\)
Phương trình parabol cần tìm là: \(y = x^2- 4x + 2\).
d)  Vì parabol đi qua điểm  \(B(- 1; 6)\) nên tọa độ \(B\) là nghiệm đúng phương trình của parabol:
         \(a(-1)^{2}+b(-1)+2=6\)
Parabol có tung độ của đỉnh là \(-\frac{1}{4}\) nên ta có:
         \(\frac{8a-b^{2}}{4a}=-\frac{1}{4} \)
Giải hệ phương trình ta được:
\(\left\{\begin{matrix} a(-1)^{2}+b(-1)+2=6\\ \frac{8a-b^{2}}{4a}=-\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} a=16\\ b=12 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-3 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}\)
Phương trình parabol cần tìm là: \(y = 16x^2+ 12x + 2\) hoặc \(y = x^2- 3x + 2\).