Bài 3. Có ba nhóm máy \(A, B, C\) dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau:

Một đơn vị sản phẩm I lãi \(3\) nghìn đồng, một sản phẩm II lãi \(5\) nghìn đồng. Hãy lập phương án để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất.
Giải
Gọi \(x\) là số đơn vị sản phẩm loại I, \(y\) là số đơn vị sản phẩm loại II được nhà máy lập kế hoạch sản xuất. Khi đó số lãi nhà máy nhân được là \(P = 3x + 5y\) (nghìn đồng).
Các đại lượng \(x, y\) phải thỏa mãn các điều kiện sau:
(I) \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0,y\geq 0\\ 2x-2y\leq 10 \\ 2y\leq 4 \\2x+4y\leq 12 \end{matrix}\right.\)
(II) \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0,y\geq 0\\ y\leq 5-x \\ y\leq 2 \\y\leq-\frac{1}{2}x+3 \end{matrix}\right.\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (II) là đa giác \(OABCD\) (kể cả biên).
Biểu thức \(F = 3x + 5y\) đạt giá trị lớn nhất khi \((x; y)\) là tọa độ đỉnh \(C\).
(Từ \(3x + 5y = 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{5}x.\) Các đường thẳng qua các đỉnh của \(OABCD\) và song song với đường \(y = -\frac{3}{5}x\) cắt \(Oy\) tại điểm có tung độ lớn nhất là đường thẳng qua đỉnh \(C\)).
Phương trình hoành độ điểm \(C\): \(5 - x = -\frac{1}{2}x +3 \Leftrightarrow  x = 4\).
Suy ra tung độ điểm \(C\) là \(y_C= 5 - 4 = 1\). Tọa độ \(C(4; 1)\). Vậy trong các điều kiện cho phép của nhà máy, nếu sản xuất 4 đơn vị sản phẩm loại I và 1 đơn vị sản phẩm đơn vị loại II thì tổng số tiền lãi lớn nhất bằng:
                           \( F_C= 3.4 + 5.1 = 17\) nghìn đồng.