Bài 6. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một hình thoi cạnh \(a\) và có \(SA = SB = SC = a\). Chứng minh rằng:
a) Mặt phẳng \((ABCD)\) vuông góc với mặt phẳng \((SBD)\);
b) Tam giác \(SBD\) là tam giác vuông.
Giải

a) Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\)
Theo tính chất của hình thoi thì \(O\) là trung điểm của \(AC,BD\)
Xét tam giác cân \(SAC\) cân tại \(S\) có \(SO\) vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường cao do đó 
\(SO\bot AC\)                                                             (1)
Mặt khác \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\bot BD\)      (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AC\bot (SBD)\)
\(AC\subset (ABCD)\Rightarrow (ABCD)\bot (SBD)\)
b) \(∆SAC = ∆BAC  (c.c.c)\)
Do đó các đường trung tuyến ứng với các đỉnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau: \(SO = BO\)
\(O\) là trung điểm của \(BD\) nên \(OB=OD\)
Suy ra \(SO=OB=OD={1\over 2} BD\)
Đường trung tuyến ứng với một cạnh của tam giác và bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông. Do đó tam giác \(SBD\) vuông tại \(S\)